当x^2+y^2=6时，x+y和xy的取值范围如何？

本文介绍当x^2+y^2=6时，用通过三种方法求x+y和四种方法求xy的取值范围思路即方法步骤。

解：先求x+y的最值问题。

思路一：设x+y=k，代入已知方程，得到关于x的一元二次方程，方程有实数根，则有判别式≥0,求得k的取值范围。

x^2+(k-x)^2=6

x^2+k^2-2kx+x^2=6

2x^2-2kx+k^2-6=0

判别式△=4k^2-8(k^2-6)≥0

-4k^2≥-8*6

k^2≤12，即：-2√3≤k≤2√3.

所以x+y的最大值为2√3，最大值为-2√3。

思路二：利用三角函数换元，求得x+y的最大值。

由x^2+y^2=6，设x=√6cost，y=√6sint，则：

x+y=√6cost+√6sint

=√12(sint+π/4).

当(sint+π/4)=1时，x+y有最大值=2√3；

当(sint+π/4)=-1时，x+y有最小值=-2√3；

思路三：不等式法

∵x^2+y^2≥[(x+y)^2]/2

∴(x+y)^2≤2(x^2+y^2)

即：

(x+y)^2≤12，则：

-2√3≤x+y≤2√3.

此时x+y的最小值=-2√3，最大值=2√3。

下面求xy的最值。

思路一：直接根据已知条件，替换y，得到关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

xy

=x√(6-x^2)

=±√[x^2(6-x^2)]

=±√[(6^2/4)-(x^4-6x^2+6^2/4)]

=±√[(6^2/4)-(x^2-3)^2].

则xy的最大值为3,最小值为-3.

思路二：换元法，设xy=p，得到y=p/x,代入已知条件关于x的函数，并根据二次函数性质得xy的取值范围。

x^2+y^2=6

x^2+p^2/x^2=6

x^4-6x^2+p^2=0

判别式△=6^2-4p^2≥0,即：

p^2≤6^2/4

-3≤p≤3

此时得xy=p的最大值=3，最小值=-3.

思路三：三角换元法，将xy表示成三角函数，进而得xy的取值范围。

由x^2+y^2=6，设x=√6cost，y=√6sint，则：

xy=√6cost*√6sint

=6*(1/2)sin2t

=3sin2t

当sin2t=1时，x+y有最大值=3；

当sin2t=-1时，x+y有最小值=-3.

思路四：不等式法。

∵x^2+y^2≥2√(x^2*y^2)=2|xy|

∴|xy|≤(x^2+y^2)/2=3

即：-3≤xy≤3.

则xy的最大值为3,最小值为-3.