数学教育有“五神”——数学的创造力培育探索
数学教育如何有效培育学生创造力是一个沉重而迫切的话题。说沉重，是因为这个话题的解决太艰难了。说迫切，是因为创造力不够而被“卡脖子”的事时时发生，如眼下新冠病毒给人们造成的伤害。
作为数学教学，一方面，在很多老师脑中，常常以为学生“记住了就是掌握了”，或认为，数学教学与创造力培育是两根平行线，永远没有交集。另一方面，创造却又是数学学习的本质属性，创造力培育是数学教育最为重要的功能。
堪称数学教育“诺贝尔奖”的弗赖登塔尔奖，这是全球数学教育的最高荣誉。弗赖登塔尔曾反复强调：数学学习的唯一正确方法是实现“再创造”。也就是由学生把要学的知识，通过自己发现或创造出来；教师的任务只是引导和帮助学生，而不是灌输。
他认为，这是一种最自然、最有效的学习方法。说它最自然，是因为生物学上“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学上也是成立的。
基于对当下中国数学课堂创造力培育缺失的现实反思，以及对数学学科育人本质的认识，笔者提出了“创造式教学”的主张。
所谓“创造式教学”，就是以培育学生创造力为主要目标的一种教学活动，强调学生在数学学习活动中，让学生经历知识的发现、知识的生成、知识的应用过程，从而训练学生创造性思维，培育创造力。
简言之，“创造式教学”就是一种“在开放的课堂让学生学会发现、在发现中学会'再创造’的教学”。
创造式教学要有坚实的理论基础，除了建构主义理论、主体学习理论外，主要是以波利亚的“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”的观点和弗赖登塔尔的“再创造”教学论为理论支撑。
“创造式教学”模型的建构有一些基本的假设作为前提条件。我们归纳为以下三个基本命题：
一是创造是人的天性，创造力人人皆有，并可以通过教育获得。对创造力培育的研究由来已久，但对“创造力是否可教”至今尚未有定论，有提出“创造力是能力教育的重点”，也有认为“创造力后天培育的空间不大”。
我们采用美国劳拉·E·贝克观点，即，“创造性既不是天生决定，也不是少数精英天生所有。”也就是说，创造是人的天性，创造力人人皆有，更不是少数优等生的专利，这是创造式教学的立论基点。
二是学生学习是一项伴随情绪情感的思维活动。情绪具有激发动机、调节认识、信息传递功能，是“激发个体内在力量，促进个体内在生长”的动力源，而且是影响学生创造性发挥的重要因素。因此，以学生情绪情感体验作为创造式教学模型建构的逻辑起点、教学过程划分范围。
三是课堂教学是创造力培育重要路径，在课堂中学生的学习方式决定了学生创造力形成。如果在课堂教学中，采取传统单向度的授受教学方式，学生只是被动接受，那创造力是得不到发展的，这也是人们常说“创造力不能教”原因所在。
只有当教师的“教”处于一种为“学”服务的状态，通过创设外部环境，激发学生进行自主学习、发现学习、实践学习、互动学习、探究学习时，让学生的学习不断走向深层、深刻、深度时，学生的创造力才会得到不断发展。
基于学生在课堂活动中的学习机理，我们建构了“五神”金字塔教学模型。
所谓“五神”，也就是“神秘、神奇、神妙、神圣、神话”，是学生学习过程中，五个不同阶段的情绪与心理切换。这一过程好似登塔运动，故名“五神”金字塔模型。
图中的“最近发展区”，不仅是学生知识基础和良好学习方式基础的“最近发展区”，其“支架”作用决定能否“神往”拾级而上，这取决于我们能否创造学生攀登上一个层级的最近发展区，否则，就易“断链”而不可登高。从这个意义上说，最近发展区是“五神”金字塔的动态攀登的根基。
神秘：揭开“神秘”面纱，确立创造意识。
创造意识是学生进行创造性活动的前提，在灌输式教学中，从没有“发现知识、生成知识”之说。所以，创造式教学从揭开知识的“神秘”面纱开始，旨在激活学生“我也能”“我也要”发现知识、创造知识的意识，而这都是因为课堂一开始就有了“神秘”情景而驱动着“好奇心”的作用。
神奇：迈入“神奇”殿堂，激发探究欲望。
数学的概念、定理、法则、公式，以抽象的符号呈现，给学生的不少感受是枯燥的、无趣的。其实，隐含在这些抽象知识背后的，都有一道道美丽的、神奇的“风景线”，等待我们去欣赏、品析。
所以，当揭开知识“神秘”面纱后，创造式教学将激发学生迈入“神奇”殿堂，在“神奇”殿堂里，知识被情境化了、问题化了、结构化了，学生对知识的习得，不再是被动接受，而是在自己好奇心驱使下的自主探究活动。
神妙：亲历“神妙”过程，享受创造快乐。
从关注书本知识转向聚焦学习过程是创造式教学的重要特征，学生的学习是在情境中、在问题发现与解决中进行的。这样的过程是“神妙”的过程，其神妙在于，知识不再是现成的、固化的、僵硬的，而是灵动的、再生的、可用的，甚至是创造的。
神圣：体悟“神圣”使命，磨练学习意志。
创造式教学强调学生自主学习，在自主发现与创造中体悟学习的神圣使命。有了学习的责任感与幸福，大脑的潜力就容易开发，解决困难的品格和意志也会得到磨砺。学生能不断明确，学习不仅是为了考试，而是为了自已的未来，也为了报答父母，更为了民族复兴，这就容易引导学生攀上“神话”的台阶。
神话：攀登“神话”塔尖，催生克难动力。
在“五神”金字塔的最顶端，我们以“神话”命名，旨在不断唤醒学生创造美好“神话”的梦想。
攀登“神话”塔尖，主要是精神层面的奋进动力。在发现与创造中滋生对美好未来的神往，实现心灵的自由与解放，坚持不懈、坚毅果敢的品质会得到塑造和发展，有助于学生更好地完善自己、认识世界、创造未来，创造人类发展的真正“神话”。
现以笔者2021年4月在湖南长沙的一节数学课为例，展示“五神”金字塔实施中的创造力培养，这是我10年前开发的新课型（章前图导学—单元学习课），旨在走出碎片化教学，让学生将分散的知识碎片穿成一串串美丽的珍珠，在自主构建中学会创造式学习。
一、神秘：《××方程》这是什么课？让学生设计问题，这给学生怎样的想象和探究问题的好奇心？
上课前，我和同学们交流了我的教学思想，这番铺垫让孩子们一个个摩拳擦掌，满怀期待进入“问题情境1”。这也是我们如何让学生持久保持好奇心的方向与激发方式。
课件上呈现梯子AB动态滑动：“数学是变化的、动态的，充满灵性的，数学人眼里静态的三角形是不断变幻万千的美丽图景。”我见缝插针，让学生沉浸在美好的图形世界里。
梯子长5米，顶端点A在墙OM上，可上下滑动，底端B在水平地面ON上可左右移动，滑动过程中三角形ABO始终存在，∠α=____。
请你设计并填写α的度数，并提出问题（要求学生从最简单的问题开始设计，由易到难）。
学生提出的问题一个个、一串串往外蹦：
∠α=120°①ABO=____；②∠BAO=____；③∠MAB=____；
在神秘的情境下，学生的思维逐渐由混乱变得有序，由易到难，由近及远，一直延伸到遥远的地方，而且在不断归类求新。
特别是很少有人想到的“明显”的外角∠MAB，让绝大多数学生眼睛一亮，更让大家醒悟：我们怎么总在“内角”思维定势？这是绝好训练发散思维的机遇啊！
历经设计题目的过程，摸清题目生长的纹理，自然就能轻松“创造”题目，从而实现既是“解题人”也是“命题人”的创造式教学。
事实上，能命题的人自然能站在更高的段位俯视，且很通透简单地解题，妙不可言，这应该是我们追求的教学天成！掌握了这一点，孩子们根本就不用在无边题海中苦苦挣扎，而是爱上数学并徜徉其中，美妙就在这情理之中了。
引导学生对新问题的发现与设计，要时刻保护学生好奇心和探究欲望。惟恐一丝提示会影响学生有质量思考的朝向与路径。
二、神奇：借力求角成功所产生的好奇心和成就感，学生在“从角到边”的最近发展区（还有什么看不见的边可求），相对轻松地“跃上”再求边的“神奇”平台，自主探索的欲望持续发生，还让学生“编写教材”，让神奇的数学探索充实学生内心世界。
创造力培育，重要条件是保护和激发学生的好奇心，创造学生思维自由翱翔的时空，引导学生不断在最近发展区“再创造”，从求角、到求三角形的边，再到看不到的边，一切都在情理中，始终让学生充满着神奇。
特别提出，课堂上对学生创造力培育不仅是对少数学霸而言，而是要面向全体学生。只有当大多数学生的主体性充分发挥，学生的自主探究、自主发现、创造力培育才有现代课堂价值与意义。
④OB=____ ⑤OA=____；⑥求AB边的高；⑦AB边的中线；⑧求三角形的中位线；⑨求△AOB的面积……【一求角（内角、外角）；二求边；三求面积……】
“我们还能想到更遥远的地方吗？如：什么已学的知识能和这个图形融合成一个崭新的数学世界？这是培养我们创造力的大好时机，大家要珍惜！”
没多久，让我们在学生的“创造”中看到课堂生命的奇迹。
⑩“延长NO、MO，建立平面直角坐标系……”
⑪“求点A、B的坐标。”
⑫“求直线AB的解析式。”
……遥远了，就“跨界”了，创造性“火花”就有燎原了！
于是，同学们“再创造”的视野辽阔了，从∠α=120°到150°，再到135°，学生提出的问题迅速从12个变成36个。当我说“中考压轴题就是这么生成的”时，看得出学生无比亢奋，这太有成就感了！
“在问题情境1的基础上，当∠α=135°时，怎样求OB？”
“镜头”一转，自然切换到一元二次方程的学习中。设OB=x,则2x² -25=0,能给这类式子命名吗？绝大多数学生知道这是一元二次方程。
2x²-25=0，x²-x=0，x²+6x-7=0……
带着初二的学生学习初三的内容，没有教材，我向学生提问：没有教材怎么办？一句“胆有多大，智慧就有多大，谁能勇敢回答？”没多久，一位男生大声说：“我们自己编教材。”
我立马用惊奇的、无比欣赏的目光看着这位学生，并带着神奇的口气问：“你知道专家们是怎样编写这部分教材？我们也可以试试。”我大胆放手了，学生就有潜力了，学生在现场编起了教材：一元二次方程的定义、解法及应用，一个个顺理成章呈现。
学生一句“我们是用学一元一次方程的经验编写一元二次方程教材”让台下的老师这才恍然大悟：其实，这“高难度”的“编写教材”的课堂操作，正是我们在平时教学中扼杀孩子创造力的机会。事实上，学生很容易做到，根源是我们没有放手或不敢放手。
三、神妙：借助学生“一个情境创造了36题”的神奇，再引导：这里有“陷阱”？“陷阱”是什么？请您设计并欣赏“陷阱”！这让学生真正实现“学会发现问题、提出问题，更好解决问题”的创造式学习，从而发现数学学习本质上是“好玩”的美妙体验。
都说学习兴趣难培养，特别是数学又抽象、枯燥。事实上，真正的兴趣培养，是建立在学生主体性充分发挥基础上的。对数学问题发现与生成，这才是深层次的、持久的、有价值的兴趣培育，也是创造意识被点燃的标志。
课堂上，我与学生是这样作交流的：
我希望同学们学会安静地独立思考，学会欣赏数学的美好，千万不能因为自己发现的速度比别人快告诉别人答案而影响其他同学独立思考的美好，因为破坏别人的好奇心那是不友好的。
最后，孩子们甚至怡然自得依据“问题情境3”设计了“陷阱题”。
“当m为何值时，方程
是一元二次方程？”
学生自豪地解释陷阱何在——
当m为何值时，方程
是一元二次方程？
当m为何值时，
是一元二次方程？
当m为何值时，
是一元二次方程？
当m为何值时，
是一元二次方程？
当一个个学生举着白板上台介绍自己创造的题目时，我说：“这道题将以你的名字命名，这叫——吴欧骐题、刘昱辰题、周义翔题、粟宇轩题……”孩子们欢乐的声音久久回荡在我们耳边，我的心头都为之一颤：课堂太美好了！
四、神圣：当学生看到断臂维纳斯雕塑与方程时，这方程的“精神意义”又是什么？引导学生感受学习责任的神圣，激发学生克服困难不畏艰难的学习意志和品格，用数学的思维创造未来世界的情怀，同样是师生神圣的责任。
我在大量的教学实践和教学研究中发现，当学生的学习兴趣、信心达到一定程度时，学生对学习的责任感、使命感最容易得到提高和升华。
这尊雕像（断臂维纳斯）大家已在美术书上见过，你们能掂量她在世界各国人民心里的尊严与智慧、生命与美丽的分量吗？希望同学们常从数学的视角去欣赏，更期待你们以方程的智慧去点燃这久远的灿烂文化。
学生思考着“问题情境4”感觉有些“一头雾水”，随即我说：
“这人体雕像这么美，与方程x²+x-1=0有关系。两年前这个问题成了全国卷高考数学试题，相信你们只要努力，一定会感受到数学学习的真正美好，感受数学学习的神圣与学习的使命。情境5的问题很有价值，这么有意思的问题我留给大家课后去探索，我也相信大家对学习的重要性有更高远的认识。”
在此设计的“情境4”同样良苦用心，因为从“神妙”向“神圣”攀登这台阶是数学学习的飞跃，这里又渗透了什么精神方向？
我是这么想的，当学生有一天探索到（初三第一学期学到）了“方程有一个解为X=0.618”的“黄金分割值”，我自信总有一些孩子会将数学和人生态度完美融合，这是因为维纳斯断臂给了我们启示：人们不仅是在修补美，更是在选择理想的方向。
五、神话：这节课我既是解题人又是命题人，再用数学思想引导学生发现解新方程的“新方法”，再到“一元二次方程”应用题的建模，我们培育学生勇敢创造神话的品格，让创造力架起学生伟大梦想和现实之间的桥梁。
毛泽东曾有梦想般的神话“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的境界，事实上，如今人们早已实现(打破)了这个“神话”。
刚才我们发现了一元二次方程
，如果老师不告诉你们解法，谁愿意尝试这人生第一道一元二次方程的解法？
显然，问题情景其“挑战”性不一样，很快有学生说“我们可以试试，因为我们有解一元一次方程的经验”。当然我清楚此时学生的最近发展区是直接开平方，大部分同学应该没有问题，并很快写出解法发现的过程：
。
师：这3个方程分别是几次方程？
生：前面两个方程均是二次方程，后面一个方程是一次方程。
师：很好！其实就是解一万道一元二次方程题，其根本是什么？
生：把二次的转化成一次的。
师：这“转化”二字用得太好了。其实，学习数学的根本就是把没学过的转化为_____，把难题转化为_____，把讨厌的转化为_____，把大学的转化为_____，这转化的思想太伟大了。
当学生铿锵有力回答完对应的4个填空“学过的、简单的、喜欢的、小学的”时，台下、台上的师生报以热烈的掌声，一种新思想方法的发现与应用就在这轻松愉快幽默交流中给了孩子不一样的美好印痕。
师：这么好的方法，能给这方法“取个名”？
生：开平方法！
师：太棒了！编写教材的专家也是这么命名的。
请结合以下图示设计一个一元二次方程的应用问题，请尝试。
数学老师都知道，小学、初中、高中、大学数学教学的重大难点问题之一都是“应用题”，今天我们从设计应用题研究。
当学生们在老师的指导下提出“如图所示，矩形的长比宽多2米，求矩形宽是多少米？”
学生首先提出“设矩形宽是X米”，然后同学们纷纷提出“只要添加条件矩形面积S=3”，X（X+2）=3显然是一元二次方程！……还可欣赏周长C=8 ，很快发现小学的一元一次方程，建模Q=MN，M、N有什么条件呢？
我有意留下“空白”，很期待这“空白”有更美好的悬念和新发现的可能！
课堂上对学生创造力培育如何面向全体学生，这自然是一个新的难题。学生创造需要基础知识等积累，如果不在大多数同学“创造场域”的“大众最近发展区”，就要引导学生通过不同学习方式来弥补这个问题。这里就存在指导学生通过合作学习等方式，以全班同学“水涨船高”解决不断攀登“五神金字塔”被“卡”或被“堵”的难题，以满足不同个体差异性学习、个性化学习的需要。
也一定有人会问，这种教学方式会影响考试吗？这是非常现实的问题。从以上课堂教学实施的情况，我们可以看到，这不仅不影响考试，而且还会提高学生的学习能力，只有这样的核心素养提升，才是提高学生学习成绩的核心力量。（为方便阅读，本文编辑时删去了注释等内容。）
END
2021年/第70期∣2021/09月刊
文 | 符永平 江苏省南通市教育科学研究院
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