2022考研专业课805量子力学《量子力学教程》专业课复习笔记（含院校真题）
复习笔记
在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
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【本章重难点】
1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；
2．掌握德布罗意波粒二象性关系；
3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）
表1-1-1 波粒二象性相关概念
图1-1-1 康普顿散射
二、原子结构的玻尔理论
1经典理论在解释原子结构上的困难
（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；
（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设
表1-1-2 玻尔假设
3索末菲量子化条件的推广
式中，q是电子的一个广义坐标；p是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n是0和正整数，称为量子数。该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷
（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；
（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
三、德布罗意波粒二象性假说
1德布罗意公式
德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假设，即微粒的粒子性（E，p(→)）与波动性（υ，λ或ω，k）的关系满足：
2戴维孙-革末的电子衍射实验
图1-1-2
戴维孙和革末把电子束正入射到镍单晶上（如图1-1-2所示），观察散射电子束的强度和散射角之间的关系，证实了德布罗意假说的正确性，即电子具有波动性。
考研真题
一、填空题
11924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。[北京大学2005研]
【答案】
，
；8.9×10－41m
2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。[北京大学2005研]
【答案】2.9×10－10m
二、判断题
1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。[北京大学2006研]
【答案】对查看答案
【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是厄米算符。
2设体系处于定态，则不含时力学量
的测量值的概率分布不随时间改变。[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】力学量F(∧)的平均值随时间的变化满足：
若
（即力学量F(∧)的平均值不随时间变化），则称F(∧)为守恒量。力学量F(∧)为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含时力学量F(∧)的测量值随时间改变可以表示为：
因此，力学量F(∧)的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F(∧)的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F(∧)所取值的大小是确定的。因此可以推断，力学量F(∧)的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。比如，一维无限深方势阱，若势能满足：
在阱内（
），体系所满足的定态薛定谔方程为：
在阱外（
），定态薛定谔方程为：
体系的能量本征值为：
本征函数为：
所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。
4二电子的体系的自旋波函数，对于自旋交换必须反对称。[北京大学2006研]
【答案】错查看答案
【解析】对于二电子的体系而言，由于电子是费米子，所以满足费米狄拉克统计，也就是体系的总波函数满足交换反对称，体系的总波函数为ψ（r1r2；s1s2）＝ϕ（r1r2）χ（s1s2）。
对于自旋部分，若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χs和反对称自旋波函数χA分别写为：
①
②
③
④
其中
表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。
对于电子的坐标部分，可以取与自旋部分相反的交换对称性，也就是，对于交换对称的①②③三种情况的自旋波函数，坐标部分可以取交换反对称，对于交换反对称的④情况的自旋波函数，坐标部分可以取交换对称的波函数。
5
，式中
。[南京大学1998研]
【答案】错查看答案
【解析】利用对易关系式
可得