教育部亲自出马，中学数学必刷100题：从成千上万张数学试卷中，选出了这些由中国原创的好题！
创新是民族之魂，数学大师陈省身先生曾提倡要做好的数学，并不断强调我们要有自己的数学问题，因为没有问题，就没有创造，创新更是无从谈起，而在基础教育中，什么样的问题能称为是好问题？在别人看不见的地方，发现问题并将其解决，这就是好的问题，也是最高的数学创新，张奠宙教授曾用了一个'三根导线'的问题进行举例，并称它是中国数学教育的经典之作，
这个问题来自陈振宣老师，他的一个学生毕业后在和平饭店做电工，工作中发现在地下室控制10层以上房间空调的温度不准，分析之后，原来是使用三相电时，连接地下室和空调器的三根导线的长度不同，因而电阻也不同，剩下的问题是：如何测量这三根电线的电阻呢？于是这位电工想到了数学，一根一根测很难，但是把三根导线在高楼上两两连接，然后在地下室测量'两根电线'的电阻是很容易的，他设三根导线电阻是x，y，z，于是列出以下的三元一次方程组：x+y=a，y+z=b，z+x=c，解之即得三根导线电阻，这样的方程组谁都会解，但是能够想到在这里用方程组，才是真正的创新，
如果把考试能力比作一部机器，那么创新则是润滑剂，它们数量很小，作用很大，也决定我国未来人才在国际上竞争的成败，为了鼓励创新，由教育部主管同时也是中国最重要的的数学教育期刊之一的《数学教学》决定在全国范围寻找和'三根导线'一样能代表中国数学教育的好题，接着在熊斌、张思明、任升录、倪明等众多教授老师的组织下，他们用了整整5年的时间，从成千上万张数学试卷中精选出了方程与函数，数列，平面几何，解析几何，立体几何与排列组合、概率统计与复数六个模块近100道由中国原创，蕴含数学思想深刻，教学价值丰厚的好题，
这些好题值得大家细细品味，在文末可以获得高清电子版！
方程与函数
第一题曾在全国初中数学联赛使用过，是在日常生活中经常会碰到的问题，通过对这个问题的思考，可以提高分析具体问题，建立数学模型的能力，对于学生灵活地解应用题有着很好的启示作用，本题还可以从多方面进行拓展，例如把33层换成一般的n，答案是多少呢？如果电梯可以停两层，那么，不满意总分的最小值又是多少呢？如果可以停3层？老师与学生都思考一番.
第二题来源于2005年的'卡努'台风，这道题有以下特点：一是题目符合实际，有利于培养学生应用意识，二是本题解答过程需要动手操作、实验猜测、理论计算等各种数学活动，随着问题的步步深入，让学生在实际操作中，理解台风中所蕴涵的数学知识，培养学生用数学解决实际问题的能力，发展学生探究能力与创新意识，三是作为中考模拟题，本题设计了阶梯式问题串，有画图、填空、解答，使学生人人有所得，不同学生得到不同程度的结论，有较高的区分度.
第三题是北大附中高二函数单元考试题，在大自然界，许多看似神秘问题，在合理的条件设定下，用很简单的数学知识就可以解释清楚，学会从数学的视角去观察世界，会有许多有趣的发现.
第四题是上海高三期末统考试题，此题的教育价值在于引导学生关注身边的数学问题，对该题也可进行拓展，其定价是按照最低消费2千元确定的，经过一段时间的试销发现，若每当售价降低1%时，每月的销售量可增加5%，校园超市为取得月最大收入，进价价值千元的商品，应以多少元零售价出售呢？
在超市经常可以碰见促销活动，而第5道就是一个真实的好题，从解答中可以看到，涉及的数学知识基本上是小学的，但需要较高解决问题的能力，这是一个典型'知识不等于能力'的例子，而我们数学教育往往重知识，轻能力，这是需要我们重视的，而本题解析给出的方案也不是唯一的.
第6题是引导学生从数学的角度思考、发现和提问的好题，第（1）问的设立，为解决问题设置了思维的起点，试题的难度不高，主要体现了字母表示数的数学思想，将具体的数字抽象成字母，用数学表达式表示有关量的关系，第（2）问主要体现了方程思想，当某个量无法直接求出或直接计算较为复杂时，经常可通过设未知数，通过建立方程的方法解决问题，本题也体现了对阅读理解能力的考查！
第7题与初中的工程问题很类似，但所涉及的数学知识、内容和深度都较大，而且其中的数据与实际完全吻合，可以说是一道真正意义上的数学应用问题，此题的数学模型实质上是函数的最值问题，在解决第（2）问时，量纲与数据上不能有一点差错，否则就不能得出其正确答案，这需要一定的审题和运算能力.
第八题的入口浅，几乎所有学生都能在不同层次上找到一些解，可以激励学生在参与过程中逐步深化对问题的理解，让学生思维在解答过程中自然地得到提升，我们还可以进一步研究问题，以上（2）（3）两种方法所得到的答案形式上是不同的，你能否说明它们实际上相同的呢？能不能提出类似的问题，如：怎样的两个数，它们的差与商相等？怎样的三个数，它们的和与积相等？
第九题考查学生对反函数概念的理解，用图象来观察原函数与反函数之间的对称性，可能会给出许多具体的例子，从例子中可以加深对反函数的理解，学生可以通过一些具体例子逐步归纳，尽可能得出一般性的结论，本题与吉米多维奇所著的《数学分析习题集》第251题所讨论的内容有所类似.
数据分析贯穿于函数研究的始终，是除利用解析式外研究函数的又一有效途径和基本手段，况且有些函数就是以裂变的形式呈现的，培养学生对数据取值趋势的分析能力，应该是函数教学的一个重点，在本问题中，不考虑知识限制，可否从取值趋势的角度在周期性、对称性、值域、函数变化快慢等角度改变问题呢？
第11题是一道涉及平面几何、三角、函数、方程、不等式和导数等知识的好题，涉及的数学知识点极丰富，蕴涵的数学背景深邃，一方面，它是一道计算题、应用题，但赋值、估算、猜测、判断更富思考性、技巧性，另一方面，问题所涉及的数学思想方法，诸如函数与方程、等价转化、数形结合、分析归纳等巧妙融合，
在教学用二分法求方程近似解的同时，恰到好处地介绍偏差调整法求方程近似解，既能够展示数学情景，帮助学生认识数学模型，加强知识的综合应用，又有利于启迪数学思维，培养数学能力，加强数学应用意识，不失时机地用这样的知识载体，那么我们的数学教育将会变得生动活泼.
第十二题曾在众多场合里被张奠宙教授提及宣传过，他认为这是一道不可多得的好题，这一问题来源于实际，其解析过程，从问题的数学化，构建数学模型，直到解答处处体现着数学知识、数学思维方法的作用，令人信服地理解数学教育的价值，数学教育对人脑潜力的开发作用跃然纸上，这远胜于苍白无力的说教.
数列
在实际生活中有许多事情人们是凭着经验办事的，这些经验的背后隐藏的数学原理与方法正是我们所要挖掘的，也是培养中学生数学应用意识的极好素材，而第13题瀑布高度与视角与第14题传销危害就取材于生活.
第15题是有关数列模型一个极好的问题，曾被许多教育研究所与名校用于高考模拟卷和学校内部数学测试，它一方面检测学生建立数列模型与解模的能力，另一方面，题目对学生的心灵也是一次震撼.
第16题将手工剪纸与斐波那契数列、黄金分割比值这些著名数学现象结合在一起，对学生学习观是有启发意义的，若将剪下的纸按剪线粘贴，依原来的顺序和位置还原，则各矩形可视为对原矩形的无限分割，能无限分割对原图形和分割规则是有条件的，又例如三角形中对顶角为36°的等腰三角形能无限分割，其底边与腰长比为黄金分割比值，类似这样的图形还有吗？该如何分割？另外，在原图形位置固定时，分割图形逐渐向固定点收缩，该点的位置还有规律吗？
第17题是一道涉及数列、极限的题目，在生活实际中，一些操作（比如裁剪）是有限次的，极限的结果表示一种趋势，极限的存在意味着这种操作的合理性、有限的操作需要用无限的结论来刻画，体现了'有限''无限'的辩证统一，而如果将题目中的'3'改为'5'也可以得到类似的问题.
第18题所涉及的分期付款问题在如今具有广泛的现实意义，但在20多年前关注此类问题是需要数学教育工作者前瞻性眼光，需要有用数学的眼光看世界的意识，这道题诞生于96年，本题的解决过程并没有局限于解决小李的问题，而是首先将其一般化，由特殊到一般，随着一般性的问题的解决，不仅解决了小李的问题，也使得这类问题得以解决，其中科学方法论的渗透是不言而喻的.
第19题曾作为逆向性联想的范例刊登在《数学通报》，并曾作为压轴题几乎一字不差地出现在高考数学试卷上，接着此题激起千层浪，一段时间逆向思维类的论文纷纷登场，例如，抛物线C：y²=2px的弦AB所在直线过x轴定点的充要条件是A、B两点的纵坐标之积为定值，如何得出上述命题的呢？
人教版教科书也有道习题，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点的纵坐标分别为y1、y2，求证y1y2=-p²，对该题反思后可发现其逆命题也成立，因而得出了上述的命题，可见逆向思维无论对数学解题和编题的作用有多大，它让我们体会到数学是思维体操的真谛！
第20题锻炼学生观察图形表所反映出的规律及对规律用符号语言表达的能力，作为训练问题对培养学生思考探究能力、图表语言与数学符号语言相互转换能力和数学表达等都有十分积极的意义！
第21题是在对20题进行进一步研究之后提出的，其归纳思维与演绎思维并重.
第22题从学生熟悉的问题进行联想，把问题一步一步地引申、推广，是学生学习过程中运用较多地获得新问题的方法，由于事先不知道结论，甚至还不知道这样的问题是否有解，其能调动学生参与探究的积极性，解题要经历归纳、猜想、证明一系列心智活动，对培养学生的探索精神和创新意识很有帮助.
第23题涉及了数列、极限、矩阵、矩阵变换等数学概念，解决问题中既有代数抽象又有几何直观，特别是解答过程还用到了数列差分的思想，对学生的数学素养考查与能力的锻炼都比较全面.
第24题的解决过程来源于对问题的寻找，而问题的寻找又借助于'数形结合'的手段，同时也来源于对所遇到问题数学化的过程，另外还应注意把问题同相应的数学工具的形式作比较，本问题也可进行拓展，根据数列｛bn｝的构造过程，可否进一步考虑此数列有无最小值或其有界性呢？
第25题能让学生体会到二次函数的重要性，同时也能够体会用运动变化的观点看待问题，对于第（3）题的解决，学生如果能够发现抛物线yn=-（x-n²）²+n²本质是由其抛物线yn=-x²平移而得到的，对于问题的解决就显得很容易了，这就要求学生掌握运动变化过程的本质是十分必要的.
初中生不会过早地接触斐波那契数列，因为它所涉及的知识超过了初中数学的范围，但它有很多有趣的性质用来激发学习兴趣是很好的，可以先找若干学生先做一个游戏：每人先任意写两个正整数，然后把它们的和作为第三个数，再把第二个数与第三个数的和作为第四个数，又把第三个数与第四个数的和作为第五个数......，依次类推，写到第十三个数为止，用第十二数作被除数，第十三个数作除数（精确到0.001），求商，然后把结果报上来，全部是0.618，学生们的好奇心可以得到激发，想知道是为什么？接着讲述这26题可在学生心中埋下深入研究斐波那契数列的种子.
平面几何
第27题可解决报纸、常见标准尺寸的出版物的尺寸推算，如根据手中常见的32开课本的尺寸，估算16开，8开，4开，2开，1开出版物的尺寸，将'优美矩形列'推广到三维空间，会得到怎样的'优美长方体列'，又会有怎样的性质？
第28题是一个用数学的典型例子.
第29题是开放性的几何作图与计算问题，折痕的条数及位置都具有不确定性，问题的结论具有一定开放性，解题的过程需通过探索，可以从不同的角度思考，在思维方式上也具有一定的开放性，解答中的前几种情况较为容易，而最后一种情况具有一定的难度，需要灵活运用所学的知识，体现了对空间想象、推理分析、运算等数学能力及分类讨论、图形运动变换、转化、面积方法等数学思想方法的考查.
第30题在'旧元素的新组合'中培养学生的创新意识和能力，当x为什么值时，矩形可以自相似5分割？
第31题曾用于全国性大规模数学竞赛，涉及对具体问题情景的适当估计，估计是教学感知的一种方式，也是学生实践能力的具体体现，而问题与学生的学习背景和生活一致，更是促进学生主动思考问题.
第32题是一道典型平几好题.
第33题的主旨是研究两个三角形全等的判定方法，它是初中数学的核心知识之一，学生需要综合运用所掌握的基础知识并通过多次尝试才有可能获得实质性的进展，多得到的结果应当是其探索发现和分析解决问题能力的外在表现.
在一个数学命题，我们常常考虑这样的问题：如果结论成立，那么条件是否一定成立（即是否充分必要）？或者减弱条件，结论是否成立？等等，这样我们就可以发现许多新的数学问题和新的结论，而本题就是这样引申出来的，这道题曾作为教育部选拔理科实验班数学入学试题使用过.
直角三角形有如下一个性质：若Rt△ABC中，∠A=90°，以AB、AC为边分别在三角形外作两个正方形ABDE和ACFG，CD∩AB=M，BF∩AC=N，则AM=AN，想一想它的逆问题，△ABC中，AB≠AC，以AB、AC为边在三角形外分别作两个正方形ABDE和ACFG，AB∩CD=M，AC∩BF=N，若AM=AN≠0，那么∠BAC还是直角吗？结论是成立的，再设想如果以AB、AC为边在三角形外作两个正三角形，正五边形，正六边形，这时∠BAC分别是几度？由此引出第35题.
解析几何
德国物理学家海森堡曾说：'提出正确的问题，往往等于解决了问题的大半'，在基础教育阶段，引导中学生在观察周围每一现象（社会、经济、文化、新闻素材等），能否用数学与物理的眼光去提出问题呢？第36题就是教师在与学生讨论中形成的，而这个过程也正是新课程研究性学习所提倡的，而第37题从表面上看，很简单，但是学生想要挑战成功是需要较强的推理运算能力.
图形的处理能力是新课标中后涉及的新能力，面对繁杂的图形，你能否从中发现一些规律？这不仅是一种实践能力，更是创新意识的反映.
第39题可以让学生体会到，运用数学工具解决一些其他学科问题的过程，提高学生的应用意识和能力，而此题也可以进行拓展，当两个平面镜夹角变小时，n值会增大，猜想相应点A轨迹仍为平行四边形两邻边.
蝴蝶问题引人入胜，学生在解题过程会有新的问题和方法，也能欣赏到数学之美，其问题还可在圆锥曲线的焦点处，也可在中心处，对称轴上，甚至于平行四边形、正方形等其他图形上深入研究.
引用变换、映射观点处理几何问题，是在运动中研究几何图形的变化，充满着辩证法，由仿射变换可将大量的圆的几何性质翻译成相应的椭圆的几何性质，但如果直接证明这些由变换来的椭圆问题往往是非常困难的.
在数学教育中培养数学的应用意识和探究解决实际问题的能力，可以说是数学教育永恒的理念之一，这也是第43题的价值所在.
立体几何
第44题来源于科研实际，是一道可遇而不可求的问题，它的解决同样经历了数学化、数学建模、直至问题的解决的全过程，它的价值所呈现的数学应用意识，对脑潜能的开发作用闪耀出令人难忘的印象.
第45题需要学生利用立体几何知识建立函数关系，收集数据，利用模拟方法建立函数关系，通过检验，选择较好的函数模型.
几何思想过去一直强调逻辑推理论证能力，而在新课改后，同时强调把握图形的能力，并作为教学的主线，如何把握这一主线，是需要每位教师不断思考并付诸实践的一个重大问题，而第46题用一个简单而经典的几何图形，通过变化与运动让学生进行探索，从而形成一种把握图形的实践能力与思维能力.
第47题涉及了立体几何、不等式知识、函数思想和分类讨论思想.
一个几何体，经过部分变形后，会发生一些怎样的变化？学会用数学眼光去思考，并寻找问题的答案，第48题是培养创新意识与实践能力的一个极好题目.
第49题入口浅，与最常见的正四面体结合求解，其中涉及异面直线的距离，感受将正四面体内接于正方体后简化求解，问题拓展到三个球后，又与正八面体结合求解，再次感受到结合正方体解题的威力，同时，如果允许每层球数不同，问题呈现开放性，本问题最重要的也是贯穿始终的是能够很好地培养学生的空间想象能力，这是立体几何教学的核心目标，探究本问题能让学生体会让数学好玩.
第50题是在对表面积最小问题得到解决的基础上，将问题类比到求棱长和最小的相应问题，本题中表面积最小与棱长和最小都具有实际意义，其类比是合理和自然的，类比思维是数学思维中跨度比较大的一种思考问题的方式，是创造性思维必备的一种素质，而这道题以及最后提出的'双棱柱概念'让学生从逆向思维、类比思维、公理化思维的角度来学习数学，这样其数学素质必有大的提高.
第51题考查了学生对题目中'平衡八面体'这个新定义的理解，构造出相关的方程还有函数模型，充分考查了学生的阅读能力和空间想象能力，对于提高学生解决数学问题的能力有很大的帮助.
排列组合、概率统计、复数
'空当接龙'是一种常见且较为简单的电脑游戏，它是随机地把52张扑克牌分成八行（四行七张，四行六张），利用可用单元作为空位，将所有纸牌按一定规则都移到回收单元，如果能在回收单元中叠放从A到K升序排列的、每叠只有一种花色的牌就能赢得此局，而第52题就来源于此.
第53题是一道既有实际背景，又有实用价值的问题，解决这一问题需要把实际情景很好地转化为数学模型，并将数对的关系借助图形，用'平行'和'垂直'关系加以刻画，巧妙地处理了'同类'与'异类'，从而使得问题轻松地得到解决，解决这一问题，涉及的知识不多，能让学生感受到如何善于数学地思考问题.
第54题直接用组合数进行计算有困难，需要对复杂的问题作适当的分类，体现了解决问题的分类思想，如何进行分类，这需要一定的技巧和对问题的驾驭能力.
解答第55题，需要学生应用'以退为进'、'分类讨论'、'数形结合'等重要数学解题策略和思想方法.
第56题涉及了数学多方面的知识，从而培养学生综合运用数学知识的能力，这道题是一个真实的问题，发生在学生周围，学生通过探索学习，可增强'用数学'的意识，本题需要学生的合作与交流，从而还能培养合作精神.
平均数是数学中一个十分奇特的概念，初看弄懂平均数的意思和能够进行计算并不难，连小学生都能办到，但面对涉及平均数的实际问题，部分学生常常作出错误判断，其原因除了对平均数的意义缺乏深入了解外，在平均数概念的认识上存在偏差也是一个重要原因，比如认为平均数一定代表中等水平便是如此.
第58题培养学生的应用意识与创新能力都是十分有益的.
第59题立足于复数、实数、向量三个概念之间的联系与区别，给学生学习这三个概念提供一个线索，也可为学生对三个概念的理解程度提供评判依据.
第60题曾作为高考模拟考压轴题出现，而后又在全国各地练习与各类试卷中反复出现，由于情景新，且涉及方程根的概念，复数为零的充要条件，参数思想与轨迹题等基本知识与数学方法，对引起学生兴趣，提高思维能力都有积极作用，这道题还有一个不解之谜，那就是为什么这一复数方程恒有一个实数根a（a为实变数）会导致z的对应点的轨迹恰为蔓叶线，其至今仍未找到原因所在.
第61题曾在中国数学会奥林匹克委员会与普及工作委员会联合举办的全国数学竞赛命题大赛获奖，而后被收录到许多竞赛书籍中，这道题涉及多项式的根、复数的运算及性质、不等式的证明等内容.
第62题综合应用了物理的热传导知识和数学的正比例、反比例关系，而第63题则是引导学生关注身边生活中的数学，体现数学的应用价值.
第64题需要学生具有线性规划的思维方法.
在当前的数学教育中涉及的具体'数学题'，大概仅限于'数学'上的思考是不够的，目前来看我国的数学问题从数学层面上颇有成果，如果能再从'教育'层面上多思考、多探索会开创出一片新的天地，而第65题涉及了'手工作函数图象还需不需要'的问题，技术是一项工具，为数学教育服务才是根本目的.
第66题的条件很简明，结论需要学生自己去探索，然后证明自己的结论，在证明中需要解决任意正整数的选择，题目的解决中利用了观察归纳、类比推理、逐步调整等方法，对于学生的启发是有意义的.
某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期间，可以用3只该品牌的可乐空罐换1罐可乐，这是第67题的背景，此题从特殊情形入手，通过列表、观察、寻找规律、作出猜测、再进行严格证明，体现了数学科学研究的一般方法和过程，引导学生把问题和结论引申推广，有利于培养学生举一反三、触类旁通的能力，而如果厂商的承诺改为：可以用4只该品牌的可乐罐换1罐可乐，结论如何呢？
第68题表面上看是几何问题，通过转化化为解不定方程问题，其中n=1或n=2的情形曾出现在国内外数学竞赛中，当n=2时，设r为三角形的内切圆半径，则r=F/s=2F/a+b+c，可得到2007第三届北方数学奥林匹克第8题，设△ABC的三边a、b、c均为整数，且内切圆半径r=1，求证：△ABC为直角三角形，与第68题相似的还有一个问题：求出所有面积在数值上是周长的n倍（n为正整数）的海伦三角形，有关记号同前，则xyz=4n²（x+y+z）（x，y，z，n∈N，x≥y≥z≥1，n≥1）.
第73题，其不等式简单优美，证明方法多种多样，且可从多方面给出拓展，如给出的证明4是构造了一个代数恒等式，合乎情理地分配、配凑，体现了代数恒等变形中的均衡、平衡与和谐的美感.
第74题为一道含参数的值域问题，要正确求解需通过平方、换元化为求二次函数在一个区间上的值域，然后需要对参数的不同情形予以讨论得到相应的结论，要完整给出解答很不容易，是考查学生转化、分类讨论等数学能力的好题.
除了上述这些，还有获得高考审题组专家一致好评的题，也有让学生在了解新题目的产生过程、新结论的发现过程，对培养其学生的创造力有着积极意义的好题，与这些题目命制与演变过程是如何得来的，每一道题都承载着深刻数学思想与丰厚教学价值，是可编入教科书的经典之作，
陈省身教授生前最后一次接受采访，他的遗言里对中国数学教育有着这样的期许：走自己的路，不要学美国的数学教育，我们的学生基础比较好，应当保持，然后注意创造性，使学生对数学发生兴趣，觉得'数学好玩'，我希望中国的中小学课堂里能够走出一大批世界一流的数学家，相信我们在继承优良传统的基础上进行自主创新，不断积累这些可以代表中国数学教育的好题，
中国数学是可以从'中国制造'向'中国创造'迈步前进，