数学学习的基本规律

数学这个学科学习的核心是定义。

数学中的核心定义是历代数学家的心血结晶，每个定义代表的都是一类事物的最本质概括。例如集合这个概念就是康托尔这位天才创造的，集合理论刷新了大部分数学理论，并且制造一次大型数学逻辑上的危机，为此康托尔这位天才的下场非常悲惨，他晚年一直被精神病困扰，如果没有集合论，那么无理数的定义就不是一个严密性定义。

由此可见定义是数学发展的核心，也是高中数学学习的核心与重点。可是现实教学情况是大部分老师过多注重题海训练，轻视定义的理解，过度重视定义的记忆，忽视定义的内在联系与现实需要。

例如高中数学为什么讲弧度制，很多老师包括教材都没有说清楚为什么要讲弧度制，只是强制性的讲，这样的讲法有些愿意服从权威的学生可以通过死记硬背记住并会用，可是人性决定了人如果不理解原因非要强行记住的东西偏偏就记不住，记住了也容易忘，会陷入记住了忘，忘了再复习的循环中，老师和家长还会责怪学生不努力，不知道及时复习。弧度制其实是理解三角函数的重要基础，也是三角函数图象与性质的基本。

现在我们清楚了数学学习的首要问题：掌握定义，并会应用定义解决新问题。

这里掌握包括三个方面：理解、记忆、应用。我们的老师现在过度急功近利，太过重视记忆和应用，而忽视了记忆和应用的是什么？是定义，而不要本末倒置。

其次是要学会用常识也就是自己已经掌握的知识体系去学习新定义。

例如学习数列，什么叫数列？先不要教给学生，而是要让学生猜，这是人性的另一个特点，不是努力求来的东西人不懂得珍惜，学生很容易就能猜出来数可能指的是数字，列自然是一列的意思，数列就是一列数，然后再看课本上的定义，学生会有一种果然不出所料的一切尽在掌握的感觉，破案成功的感觉让人非常愉快啊。

大家不要小看数列的这个定义，一旦真正掌握了这个定义，哪怕只是掌握数列的字面意思意思也可以做出大部分数列小题了，既然数列是一列数，那么没有任何规律的一列就没有考查的意义了，所出的数列题目就是寻找其中的规律所在，那么如何寻找规律呢？

其实寻找规律人人都会，只是到了数学这里人们常常不自信甚至自卑，不懂得利用最起码的生活常识。以獐子岛举例，这家公司骗了你三回，你难道还猜不出其中的规律？看数列的前几个数就可以大致猜想，然后剩下的就是证明猜想罢了。

例如这道题目：

这是2012年全国高考数学卷一压轴小题，由于这个数列首项不确定，说明是一个不确定的数列，是一个恒成立问题，只需给首项赋值为1，然后写出数列的前面几项，寻找其中的规律，求和是非常容易的事了。这就是数列定义的牛叉之处，练成了很容易在小题中称为金刚不坏之身。

学完数列的定义，再来看等差数列这个定义，先让学生猜想，等是什么意思？差是什么意思？数列是什么意思？这就是用已有的知识体系去学习理解新的数学定义，猜想出来后再让学生去看课本定义，验证之后获得新的成就感，想想一下多巴胺的分泌。之后可以让学生举出尽可能多的等差数列，通过这些具体的数列把文字性定义转化为数学符号定义，进而让学生在这些数列中从具体到抽象，用n表达最一般的规律，这就又和初中学习的体系联系起来，实现了“八方联系，浑然一体”的数学学习规律。最后随便找题目来联系就行了，课堂就练习，把作业放到课堂上，当堂做完，课下的作业只是课堂上掌握不好的几个题目的变式而已。

我常常见到高中学生最怕函数，尤其怕指对数函数，高中的函数常常都是具体的，也就是图象可以画出来大致形状，一旦画出函数图象，问题一般也就解出来了。我就在一节对数函数的课堂上问学生对数函数怎么画出来？让学生开动脑筋，只需用现有的知识体系来解决问题，也就是用常识解决，学生自然能想到列表描点连线的基本画法，这样教出来的学生还用天天让他们死记硬背对数函数的图象吗？授之以鱼不如授之以渔，能用常识画出对数函数图象的学生再看到新的函数自然不会害怕，不用担心这个问题我没有见过可怎么办的担心，而是时时刻刻启用藏在自己身上的各种武器——常识。

高中数学的每个定义都可以用常识猜想出来，限于篇幅，这里就不一一列举了。以后有时间我一个个写出文章，写一个系列文章。

最后是数学技巧。这是很多高中师生最着迷的地方，喜欢奇技淫巧，而不是基本常识，陷入题海之中而不可自拔。这就好像股市一样，股价每天上市时间都在上上下下浮动，你要沉迷其中，很容易丧失期中，正确的估值和合理的盈利前瞻能力才是本质，数学中很类似，陷入技巧之中，犹如陷入股价沉浮中。

所谓的数学技巧本质上都是依附于某几个定义上的，例如数学中的轮换关系，所谓的轮换关系，就是当已知条件和所求中两个或数个字母互换位置之后，这道题目没有任何变化，那么这种问题的最值一般都是在平衡位置取到的，这不就是跷跷板常识吗？

数学技巧恰恰是数学中的最末等技术，类似于股市中的技术分析，可以参考但不能作为决断的核心依据。

数学技巧的获得途径很多，也是最容易获得的，尤其是中学数学，已经非常成熟，所有的技巧都是可以在书店的绝大多数书上找到，也可以在网上搜到，通过做题就能获得几乎所有的技巧。当然有些高级技巧还需要参考数学竞赛内容，但本质上仍然是一些基础定义构造出来的。

我来说说题海战术。

有些学生和老师不分青红皂白上来就是题海战术，这很大可能是个巨大错误。题海有两个目的，一个已经会的题目需要练习熟练度和准确度，另一个是广泛阅读找到自己没有见到过的题型或者自己不擅长的题型。

如果一个学生刚刚学会一个定义，但是不太熟练，可以通过刷题解决，但是如果根本就一点都不会定义，却去刷题，只能是浪费时间。

如果一个学生已经站在某个定义的巅峰，但是不知道自己的弱点，那么大量阅读题目（请注意不是做）可以有效找到自己不会的或不擅长的点，这是好事，但如果一个学生已经熟练掌握了某个题型却还在大练特练苦练，那就是自己找虐了，也是浪费时间，甚至会让人丧失科学好奇心，长远看是让人上了大学不学习的好药方。

题海战术要弄清楚自己的需求点是什么，非要找头猪当媳妇就是弄错了需求，明明是糖尿病却还要给大量糖做药是找死啊！

总而言之，数学学习的核心是定义，定义需要和其他定义建立联系，所谓八方联系就是如此，最后通过适当的方式练习就可以了，这就是浑然一体。

这篇小文送给大家，希望对大家学习数学或者教育孩子有用，以后我会逐步把整个高中知识中的定义逐一写出系列小文，希望对大家有用。