40解析几何解法：遮天压地-面积问题
40：遮天压地 - 面积问题
本专题在深刻的研究和分析近几年高考真题及各地模拟题的基础上,从该类问题中的某一考点入手,着重探讨圆锥曲线中有关面积的最值、范围问题,旨在探寻这类问题的解题方法,使得学生在解决这类繁琐复杂问题时也能从容面对.
(I)公式法:
(1)椭圆中的焦点三角形面积
椭圆上一点
与椭圆的两焦点
,
构成的
称为焦点三角形,解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义,三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识,对于求焦点三角形的面积,若已知
,可利用
,把
看成一个整体,运用配方
及余弦定理求出
.
,所以
,从而得
.
(2)双曲线中的焦点三角形面积
双曲线上一点
与双曲线的两个焦点
,
构成的三角形称为焦点三角形,其中
,
和
为三角形的三边,解决与这个三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理,知:求
的面积.
由面积公式知
,首先用余弦定理求出
的值,因为
,所以
,从而得
.
(3)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
(II)代数法:
对于此类求三角形或四边形的面积的的最值或者范围的问题,关键是选择一个适当的或者合理的面积公式转化成常见的函数(二次函数、反比例函数等).在这个过程中,我们通常依据三角形的面积公式(四边形通常分割成三角形)去建立目标函数.在这类题型中,我们常见的一些有关面积的表达式有以下几种:
①
.(底=弦长公式求解,高
点到直线的距离);
②
.(
或
);
③对角线互相垂直的四边形,面积=对角线长度乘积的一半;
④面积的比值可转化为线段长度的比值.
通常我们是通过研究所建立的目标函数的最值,来达到所要解决的面积的最值或者范围问题.在利用代数法解决最值或范围问题时常从以下几个方面考虑:
①利用判别式来建立不等关系,通过解不等式来求解面积范围或者面积最值问题;
②研究函数的最值,来求解;通常研究函数的最值方法有(1)若是常见的二次函数,则可利用配方法求解;
(2)可借助配凑、换元、然后利用基本不等式(或对勾函数)求解;
(3)利用导数求解,利用导数研究函数的单调性,从而达到求解目标函数的最值或者范围问题.
(2020年全国Ⅲ卷理)已知椭圆
的离心率为
,
,
分别为
的左、右顶点.
(1)求
的方程;
(2)若点
在
上,点
在直线
上,且
,
,求
的面积.
【答案】见解析
【解析】(1)
,∴
,∴
的方程:
.
(2)设直线
:
,
与椭圆
联立可得:
.
设
,则
,∴
,
∴
.
∵
,∴直线
:
.
令
,
,∴
,
.
∵
,∴
或
.
根据椭圆的对称性,只需讨论
和
的情况,
当
时,
,
,∴
,
.
,直线
.即:
.
点
到直线
的距离
,
.
当
时,
,
,∴
,
,
,直线
,即
,
∴点
到直线
的距离
,
∴
.
综上
.
1.(2020年海南高考)已知椭圆
过点
,点
为其左顶点,且
的斜率为
.
(1)求
的方程;
(2)点
为椭圆上任意一点,求
的面积的最大值.
2.(2016年全国新课标1卷理)设圆
的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,
交圆
于
,
两点,过
作
的平行线交
于点
.
(1)证明
为定值,并写出点
的轨迹方程.
(2)设点
的轨迹为曲线
,直线
交
于
,
两点,过
且与
垂直的直线与圆
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
3.(2020湖南一模)已知椭圆
的四个顶点围成的菱形的面积为
,离心率
,椭圆
的左、右两端点分别为
,
,点
是椭圆
上不在坐标轴上的任意一点,直线
和
分别与
轴相较于
两点,
为坐标原点.
(1)求椭圆
的方程和
的值;
(2)设直线
与椭圆
相交于
,
两点,若四边形
为平行四边形,求平行四边形
的面积.