正十二面体 | 正方体 | 正四面体 | 之间的关系
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今天讲如标题所说的三种正多面体之间的关系，这些关系很重要，很有趣。然后我们便得到几种复合体。复合体相对有些复杂，但我用简单易懂的语言，主要是用适合人们思维的方式来讲解，所以相信你一定可以看懂。
（1）下图是一个正十二面体（上半截6个正五边形面被涂以蓝色，以增加正十二面体的立体效果，所以看上去是不是像个小房子，只是不是方方正正的那种）。正十二面体有20个顶点（用V表示），30条棱（用E表示），12个面（用F表示），V、E、F满足欧拉公式：V-E+F=2。
（2）上图中，我们把正十二面体的20个顶点涂以四种不同的颜色：红、黄、绿、蓝，每种颜色五个点。我们选择一个正五边形的5个顶点（这里选择了靠上的面）并涂以一种颜色（这里是涂以红色）。我们就从这个选择开始进行下面的研究。这5个红点是一个正五边形的顶点，它们位于一个平面内，可以算做一层。我们暂时称这一层为“红点层”。其他15个顶点中离这5个涂以红色的顶点最近的顶点有5个，它们分别与5个红色顶点有棱相连接。我们给这5个点涂以黄色，它们也位于一个平面内，我们把它们算做一层，称其为“黄点层”。黄点层与红点层是互相平行的。黄点层位于红点层的下方，如下图所示。同理可以在黄点层的下方定义一个“绿点层”，剩余的10个顶点中有5个顶点（上图及下图中绿色点）位于这一层上。最后定义“蓝点层”，它是最后5个顶点（图中蓝点）所在的平面。我们这里不厌其烦地把这些点分层，是为了下面说明问题的方便。下图所示就是这四个层，它们都是互相平行的（为清楚起见，原图中上半部分的6个蓝色面被隐藏了起来）。
（3）我们需要先给上面四组共20个点命名。如下图所示，5个红点分别命名为R1，R2，R3，R4，R5（R源自“红色”的英文“Red”）；5个黄点分别命名为Y1，Y2，Y3，Y4，Y5（Y为“Yellow”的首字母）；5个绿点分别命名为G1，G2，G3，G4，G5（G来自Green）；最后，5个蓝点分别命名为B1，B2，B3，B4，B5（B←Blue）。
（4）我在几年前的一篇文章中讲过正十二面体中存在着正方体（正方体的8个顶点当然要是正十二面体的顶点），下图中的绿色正方体便是全部5个内接正方体中的一个。注意，下图中正方体的顶点G3是凸向我们眼睛的；我们可以看到的是前面（R2-R5-G2-G3），右侧面（R2-G3-B2-Y1）和下面（G3-G2-B4-B2）。
（5）我们知道，在一个正方体内部存在以正方体顶点为顶点的正四面体。那么，如果在上图中这个正十二面体内接的正方体中画出一个内接正四面体，则这个正四面体的4个顶点一定是上面所说的四种不同颜色的顶点，或者说它的4个顶点分别位于上面所定义的四个颜色层中。如果我们选中正方体的某个顶点为内接正四面体的一个顶点，则这个正四面体就是完全确定的。比如下图中，我们让正四面体过红点层中的顶点R2，则线段R2-G2必定是这个正四面体的一条棱，其他5条棱分别是：R2-B2，G2-B2，Y2-G2，Y2-R2和Y2-B2（下图中的橙色线）。注意，我是事先设计好了这些顶点的编号，使得一个内接正四面体的编号除颜色标志外，都是同一数字，比如这里的正四面体R2-Y2-G2-B2的四个代表颜色字母的后面都是“2”。
（6）我们把正方体隐藏起来，以突出这个正四面体，并把它的面涂以颜色，如下图所示。它的四个顶点分别是：R2（红色），Y2（黄色），G2（绿色），B2（蓝色）。确实，四种颜色都齐全了。
（7）正十二面体的完美对称性使得我们下面的操作是可取的，并且是正确的。我们对这个正四面体作变换。想像正十二面体的这样一条对称轴，即经过正五边形R1-R2-R3-R4-R5的中心和正五边形B1-B2-B3-B4-B5的中心的直线。让这个正四面体绕着这条轴逆时针旋转，让顶点R2转到顶点R3的位置，那么，其他三个顶点Y2，G2和B2则分别转到Y3，G3和B3的位置。从而，以R3，Y3，G3和B3这四点为顶点的四面体一定是一个与原四面体R2-Y2-G2-B2全等的正四面体。于是，若把原正四面体R2-Y2-G2-B2也算在内，则一共可以得到5个全等的正四面体。①R1-Y1-G1-B1 ②R2-Y2-G2-B2 ③R3-Y3-G3-B3 ④R4-Y4-G4-B4 ⑤R5-Y5-G5-B5 。如下图所示。
（8）把上述5个正四面体同时画在一个正十二面体之中，则这5个正四面体必定互相交叉和穿过，则它们一起构成一个复合体（没有固定的名称，暂叫做“5个正四面体的复合体”）。这个复合体一共有4×5=20个顶点，它们正好就是正十二面体的20个顶点。
（9）回过头来再看下面这个图形。
我们知道，正方体有8个顶点，上图中给出了以R2，Y2，G2和B2这4个顶点为顶点的正四面体：R2-Y2-G2-B2（上图和下图中的橙色）。另外四个顶点则可以连接成另外一个正四面体：R5-Y1-G3-B4（下图中粉色）。
隐去正方体，突出这个粉色正四面体，如下图所示：
（10）这一对正四面体的复合体实际上是以前我们讲过的“八芒星”。两个正四面体的公共部分是一个正八面体，相当于把下图中的8个“犄角”（其实是小正四面体）砍掉所剩余的部分。
（11）我们在前面第(7)和(8)条中讲了5个正四面体，每一个都有一个与它相反的正四面体（正像这里的粉色正四面体与橙色正四面体相反一样）。所以，实际上，我们在正十二面体内部可以作出10个不同的正四面体，相当于五个八芒星。正十二面体的每个顶点都是某两个正四面体的顶点（即每个顶点被使用两次）。于是，由这10个正四面体也可以构成一个复合体（暂时称为“10个正四面体的复合体”）。
（12）本期内容中出现了三个复合体。除上图的八芒星比较容易画出来外，另外两个（5个正四面体的复合体及10个正四面体的复合体）则就不太容易画出了。另外，前面提到的正方体，它的一条棱（比如R2-R5）是正五边形面的对角线，这条棱绕着前面说过的那条对称轴转动，一定能够到达其他4条对角线的位置，则这个正方体也跟着转动到4个新的位置，这四个位置都是正十二面体内接正方体的位置。所以，一共是五个不同的正方体，它们也构成一个复合体。制作上面所说这三种比较复杂的复合体，可以采取细绳构造法，即先构造一个刚性的正十二面体框架，然后在它的20个顶点之间连线。您可以尝试一下。
本期内容就讲到这里吧。总之，正十二面体与正方体及正四面体之间存在着上面所说的这些有些复杂的关系。世界的构成很奇妙，数学就是要把它们搞清楚。