2021金山/奉贤一模25题解法分析(垂径定理)

2021金山一模25题解题背景：

本题的新颖的点在与利用“拓展II”中的定理“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”作为一个新的定理，也就是说整道题的问题解决肯定有一些点是围绕着这个新的定理解决的，而往往这类新定义背景下的题目难度不会深，考查的重点在于是否真正理解了定义，并且能否结合之前所学的性质定理综合、全面地解决问题.

解法分析：本题的第1问是垂径定理的简单应用，在利用垂径定理时，注意其2条件→2结论的特点，利用tan∠OAC的值，利用勾股定理进行求解.

解法分析：本题的第2问是典型的相似三角形的存在性问题，由于这两个三角形中已经有了一组等角∠DEO=∠AEC，因此进行分类讨论：①∠D=∠C；②∠O=∠C.由定义得∠AOD=2∠C，因此第②种情况不存在，本题有且仅有∠D=∠C这种情况，并且此时DO//AC.综合利用DO-AC-X型基本图形，以及∠A的三角比求出相应线段的长度，最后求∠DCA的正切值.

解法分析：本题的第3问需要分类讨论，第2问说明了E在OA上，那么还有E在OA延长线上的情况，根据题目的提示可以知道第3问需要分类讨论.

第3问就是倍角和半角的关系，在▲AOD中构造与∠C相等的角，利用锐角三角比进行解题，解题思路和方法同第2问相似.

2021奉贤一模25题解题背景：

本题的背景与2018年上海中考题相类似，本题第1、2问的解决注意围绕着垂径定理的展开；第3问由AD=2DP，联想构造平行线助力问题解决.

解法分析：本题的第1问与金山25-1一致，垂径定理和锐角三角比的综合应用，作弦心距是常见的圆中常见辅助线的添线方法.

解法分析：本题的第2问根据点C是弧AP的中点，联结OC，连半径也是圆中常见的辅助线的添线方法.利用垂径定理可得CO⊥AP，同时▲DPE与▲AOP相似的情况有且仅有∠PED=∠B的情况，因此通过设∠B=x，利用内外角和的关系求出x的值即可.

解法分析：本题的第3问先根据▲BOE是Rt▲进行分类讨论，即∠EOB=90°或∠OEB=90°的两种情况；再根据PD:PA=1:2，AO:OB=1:1，这样的一个燕尾三角形添加平行线，构造A型或X型基本图形，求出OE的长度；最后由于四边形ADEO不是一个规则的四边形，因此可以尝试使用割补法计算其面积.

金山和奉贤的25题都围绕着垂径定理，构造直角三角形运用三角比或相似三角形展开。由此可见，虽然题目的背景是圆，但是解题的方法还是围绕着常用的比例线段、锐角三角比这些基本方法展开。