迭代法求解线性方程组的收敛问题总结

本讲之前，先将高斯-赛德尔迭代法和雅克比迭代法以及迭代法求解线性方程组贴出来，毕竟收敛问题研究的是迭代方法的收敛问题。

进入主题：

判断迭代法收敛的办法：

1、首先根据方程组的系数矩阵A的特点判断；

2、可根据迭代矩阵的范数判断；

3、只好根据迭代矩阵的谱半径来判断；

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下面一一解释：（1、3 很重要！）

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1、根据方程组系数矩阵A的特点判断；

这个特点其实就是该矩阵是否是严格对角占优矩阵，或者可约不可约问题；

严格对角占优：

也就是说矩阵A的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行的其他元素绝对值之和，则称A为按行严格对角占优矩阵。

严格对角占优矩阵有什么好处呢？

定理：若线性方程组

的系数矩阵为按行严格对角占优矩阵，则解此方程组的雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛。

（定理：严格对角占优矩阵也是非奇异矩阵。证明略！）

定理：若线性方程组的系数矩阵A为对称正定矩阵，则解此线性方程组的高斯-赛德尔迭代法收敛。

可约与不可约问题：

应用：

2、根据迭代矩阵的范数判断：

3、讲讲根据迭代矩阵的谱半径来判断的方法以及实例：

由相关定理可知，迭代矩阵的谱半径小于1，则该迭代法收敛；

由此可见，若要判断迭代法是否收敛，则需要先求得迭代矩阵，下面分别讲解雅克比迭代法以及高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的求法：

1》 雅克比迭代法：

简言之，雅克比迭代法的迭代矩阵就是上面的B矩阵；

2》 高斯-赛德尔迭代法：

同理可见，高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵为

。

之后，便是求迭代矩阵的谱半径了，首先什么是谱半径呢？

简言之，就是特征值模的最大值，因此需要求迭代矩阵的特征值。

据此，拿一道题目练练手：

再来一题：

考题演练：