第34讲 典型例题与练习参考解答:微分方程的基本概念

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第34讲:微分方程的基本概念

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例题与练习题

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练习1:判断函数是否为微分方程的通解.

练习2:写出以下列函数为通解的微分方程,其中, ,为任意常数:

(1) ;

(2) .

练习3:已知曲线上点处的法线与轴交点为且线段被轴平分,且该曲线经过点,求该曲线对应的曲线方程.

练习4:有高为 的半球容器,水从它的底部小孔流出,小孔的横截面面积为 ,开始时容器盛满水,问多久水会流完?已知水高度为的小孔水流出的速度为 .

练习5:(导弹跟踪飞机问题) 设在初始时刻时导弹位于坐标原点,飞机位于点,飞机沿着平行于轴方向以常速飞行.导弹在时刻的位置为点,且速度为常值.导弹在飞行过程中,按照制导系统始终指向飞机.试建立导弹飞行的微分方程模型.

【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考,过程不一定是最简单的,或者最好的,并且有时候可能还有些许小错误!希望在对照完以后,不管是题目有问题,还是参考解答过程有问题,希望学友们能不吝指出!如果有更好的解题思路与过程,也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员,管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享,谢谢!

例题与练习参考解答

【注】如果公式显示不全,请在公式上左右滑动显示!

练习1:判断函数是否为微分方程的通解.

【参考解答】:对函数求一阶、二阶导数,得

从而可得恒成立,故函数为微分方程的解. 又因为

故任意常数相互独立,故为通解.


练习2:写出以下列函数为通解的微分方程,其中, ,为任意常数:

(1) ;

(2) .

【参考解答】:(1) 由于仅含一个任意常数,故所求方程为一阶微分方程.由于,由两个方程消去任意常数,得

即所求微分方程为

(2) 由于通解表达式中含有两个相互独立的任意常数,故方程为二阶微分方程,又由于

与解函数联立,消去任意常数,得到所求的微分方程


练习3:已知曲线上点处的法线与轴交点为且线段被轴平分,且该曲线经过点,求该曲线对应的曲线方程.

【参考解答】:点处的法线方程为

令,得点的横坐标,即

改写等式,得

代入初值,得曲线方程为


练习4:有高为 的半球容器,水从它的底部小孔流出,小孔的横截面面积为 ,开始时容器盛满水,问多久水会流完?已知水高度为的小孔水流出的速度为 .

【参考解答】:以小孔位置为原点,通过球心向上的直线为轴,水平为轴. 设时刻水面高度为,横截面圆的半径为 ,则经过时间后,高度变成了,这时间段内减少的水量近似为

由于

所以有

取极限,整理得

分离变量,两边各自积分

由时, ,得. 从而当时,有

即(s).


练习5:(导弹跟踪飞机问题) 设在初始时刻时导弹位于坐标原点,飞机位于点,飞机沿着平行于轴方向以常速飞行.导弹在时刻的位置为点,且速度为常值.导弹在飞行过程中,按照制导系统始终指向飞机.试建立导弹飞行的微分方程模型.

【参考解答】:设导弹的运行轨迹曲线为. 从时刻开始,设经过时间 后,飞机到达点,并设导弹达到 点,则有. 如图.

因此导弹在该点的运动方向即为运动轨迹在该点的切线方向,因此有

并且导弹经过的轨迹曲线的长度可以利用弧微分公式

近似曲线段利用定积分计算得到长度为

由上面两式消去时间 ,得

移项、改写,得

对等式两端求导,得

并且, . 整理即得导弹飞行的微分方程模型为

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