三大辅助线技巧——旋转

几何压轴题常常会考察辅助线的添加方法,通过旋转(三大全等变换之一)进行构造辅助线,也是常考类型之一,以下归纳几种类型的方法,希望对大家有用.

【方法归纳】

1.如图1,△ABC内部有一点DABAC.将△ABD绕着点A逆时针旋转,使得ABAC重合,点D与点D′重合.

图1

2.如图2,△ABC外部有一点DABAC.将△ACD绕着点A顺时针旋转,使得ACAB重合,点D与点D′重合.

图2

3.如图3,△ABCBC上有两点DE,∠BAC=2∠DAE(或∠DAE=1/2∠BAC).将△ACE绕着点A逆时针旋转,使得ACAB重合,点E与点E′重合,并连接DE′,则△ADE≌△ADE′.

图3

【总结】通过以上的图形,可以得出,遇到两条线段“等长共点(等腰三角形)”时,可以考虑使用旋转的方法.

常见等长共点的图形有:等腰三角形(等边三角形,等腰直角三角形),菱形(正方形)等.

【知识点】

旋转指将一图形绕着一个定点沿某个方向转动一定角度,这样的图形的运动称为旋转,这个定点叫旋转中心,转动的角度叫旋转角.

旋转的基本性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等;

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

(3)旋转前、后的图形全等.

【经典图形】

图1

正方形ABCD,∠EAF=45°,则EF=BE+DF,∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFE.

【提示】将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使得AD与AB重合,如图下所示,易得点G,B,E三点共线,再证明△GAE≌△FAE即可.

图2

如图,RT△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°,则BD²+CE²=DE².

【提示】辅助线添加,如图所示,过程略.

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