中考数学压轴题分析：到定点与定直线的距离相等

【中考真题】

（2020·眉山）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标；
（3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】

题（1）代入点坐标即可得到函数解析式。

题（2）是常见的面积最大值问题，方法多样，详见以下文章。

题（3）到定点的距离等于定直线的距离的点的轨迹是抛物线，抛物线与直线MD有两个交点。解决本题的方法直接设点N的坐标表示出NA的长度以及N到MC的距离，建立等量关系即可。
【答案】解：（1）点，点在抛物线图象上，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）点，点，
直线解析式为：，
如图，过点作轴于，交于点，

设点，则点，
，
，
当时，有最大值，
点，；
（3）存在满足条件，
理由如下：抛物线与轴交于、两点，
点，
，
顶点为，
点为，点，
直线的解析式为：，
如图，设直线与轴交于点，过点作于，

点，
，
，
，
，
，
，
设点，
点到直线的距离等于点到点的距离，
，
，
，
，
，
，
存在点满足要求，点坐标为或．