寻找构造⟹ 理解运用——从相似基本图形谈起（4）

初二我们学习全等的时候，知道旋转是一种全等变换，毕竟全等是相似的一种特殊情况，今天我们主要谈谈旋转在相似中的体现。

先看初二的一道典型例题：

例题：如图，A、B、C三点在同一条直线上，分别以AB、BC为边向同一侧作等边三角形△ABD、△BCE，连接AE、CD交于点F。求证：AE=CD。

大家立刻可以在图中发现手拉手的基本模型，加上要证线段相等，需要证明全等，从而发现只要证明△ABE≌△DBC就行了。解决完问题之后，老师都会告诉大家其实△ABE可以看作是将△DBC绕点B逆时针旋转60°就行了，加深大家对旋转和手拉手的印象。换个角度，其实也可以看做△ABD绕点B顺时针旋转120°得到△EBC，只不过此时△ABD和△EBC不是全等，而是相似。

其实这就是相似中的一种基本图形——手拉手。如下图所示是图形的基本特点，题目条件为∠POQ=∠MON，其实目的是告诉你∠QOM=∠PON；同理题目告诉你∠QOM=∠PON其实目的是告诉你∠POQ=∠MON。

显然手拉手跟旋转有千丝万缕的联系。

例题一：如图，点D是△ABC内一点，点E是△ABC外的一点，且∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，求证：∠ACB=∠AED。

分析：

从图形中很容易发现△ABD∽△ACE，很显然符合上图的手拉手基本图形，由此可以发现∠BAC＝∠DAE，

结合△ABD∽△ACE可以通过证明△ABC∽△ADE来证明∠BCA＝∠DEA。（如下图所示）

解答：

例题二：已知，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，点D为BC边中点.点M为线段BC上的一个动点（不与点C，点D重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC.

（1）如图1，若点M在线段BD上，求∠MCE的度数.

（2）如图2，若点M在线段CD上，试探究线段AC、CE、CM之间的数量关系，并证明你的结论.

分析：

这是今年苏州市一模的一道试题，我们只讨论第一题的解法，当然由于我们这篇文章的主题，我们先从手拉手的角度来思考。题目中是存在旋转的，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME ，而手拉手的旋转是角的旋转，也就是说是两条有公共端点的线的旋转，显然点M处还缺一条线，从而我们想到过M点作垂直，如下图。

仔细思考后发现向下作垂直所得到的三角形全等比较难证明，我们选择向上作垂直来解答。

解答：

分析2：

我们除了从题目中直接看到的旋转条件考虑补全旋转图形，还可以从AM、AN构成等腰直角三角形的角度考虑，连接AD，就构造出手拉手。如下图所示，只需要证明△AMD∽△AEC就行了。

解答2：

引申：

当然这道题还有其他不需要构造手拉手的方法，下面给出另外的两种路径，大家可以自行思考一下。

（方法一可以先证明△ADM≌△MHE，然后说明△CEH为等腰直角三角形）

（方法二可以先证明△ACH∽△MEH，然后证明△AMH∽△CEH）

类似这样的构造旋转手拉手，利用相似来解决问题的题目有很多，比如下面两道习题，第一道也可以构造旋转手拉手来解决；第二道有手拉手的图形 ，但需要通过相似来证明角相等，也不失为一种巧妙的考察方式。

1.如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．

小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．

①∠BEP＝_________°；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是_________．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

2.如图①，四边形ABCD是矩形，AB = 1，点E是边BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段BA延长线上一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G.设BE = x，AF = y，已知y与x之间的函数关系如图②所示.

（1）y与x的函数表达式为_________ ，边BC的长为_________ ；

（2）求证:DE⊥DF；

（3）是否存在x的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由.