二次函数：彻底掌握三种题型

说到二次函数，相信所有考生都不会陌生，因为它既是初中数学的学习重难点，也是中考数学每年必考的热点。纵观全国各地历年中考数学试卷，你会发现与二次函数有关的题型，非常丰富，如有选择题、填空题和解答题，一般集中在二次函数的图象与性质、运用二次函数解决实际问题、二次函数有关的综合应用等这些重要知识内容上面。
毫不夸张地说，谁错过了二次函数，就相当于错过了中考，基本与重点高中无缘。因此，如何学好二次函数自然成为了教师、考生和家长非常关心的话题。
初中数学函数知识主要集中在以下这三种函数：一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数。其中最为重要的就是二次函数，我们对全国各地中考试卷进行分析，你就会发现绝大部分压轴题都和二次函数密切相关，要那么就是与二次函数相关的函数综合问题，或是函数与几何结合综合性问题等等。
简单讲讲与二次函数有关的常见三种题型。
典型例题分析1：
如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

考点分析：
二次函数综合题、综合题．
题干分析：
（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
解题反思：
此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．
典型例题分析2：
某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
小明的解法如下：
解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，
由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10，
化简，整理得：x2﹣3x+=0
解这个方程，得：x1=1，x2=2，
答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．
（1）本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：　平均单株盈利×株数=每盆盈利
平均单株盈利=3﹣0.5×每盆增加的株数　．
（2）请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

考点分析：
一元二次方程的应用；二次函数的应用。
题干分析：
（1）根据题意可写出平均单株盈利×株数=每盆盈利；平均单株盈利=3﹣0.5×每盆增加的株数．
（2）除了方程法，可用列表法，图象法和函数法，同学们可选择自己喜欢的方法看看．
解题反思：
本题考查理解题意的能力，关键能够找到里面的等量关系列出，以及找出和方程不同的方法，如列表法，图象法，函数法等．
典型例题分析3：
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

二次函数该怎么学？这三种题型必须要彻底掌握

考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点P，从直线BC的斜率算起，设过点P的直线，解得直线代入抛物线解析式解得点Q；
（3）求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y=2代入解得．
解题反思：
本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式，两直线相等，即斜率相等，两三角形面积相等，由同底等高；点M的纵坐标的长度是点P的一半，从而解得．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．
虽然二次函数的难度比较大，但并不代表它不可征服，只要掌握好相关的基础知识和方法技巧，多做针对性练习，相信大家一定能学好二次函数，考取理想的分数。
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