压轴题打卡92：二次函数与几何有关的综合问题

已知抛物线y=x²+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．

（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S₁，S₂和S₃，求证：S₃=S₂/S₁；

（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

参考答案：

考点分析：

二次函数综合题．

题干分析：

（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式，然后把解析式配成顶点式得到点D的坐标；

（2）如图，先确定C（0，﹣3），再利用两点间的距离公式计算出BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，然后根据三角形面积公式分别计算出S₁，S₂和S₃，从而得到结论；

（3）设点M的坐标为（m，0）（﹣1＜m＜3），则MA=m+1，AC=√10，利用MN∥BC得到AM：AB=AN：AC，利用比例性质得AN=√10（m+1）/4，再证明△AMN∽△ACM，利用相似比得到（m+1）2=√10·√10（m+1）/4，则解方程可得到m的值，从而得到M点的坐标，然后利用待定系数法求出BC的解析式，最后利用MN∥BC可求出直线MN的解析式．

解题反思：

解题反思：

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求二次函数和一次哦函数解析式；会求抛物线与x轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，记住三角形面积公式；会利用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质计算线段的长．

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