干货 | 高中数学导数知识总结 导数七大题型答题技巧!

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知识总结
一. 导数概念的引入
1.  导数的物理意义:
瞬时速率。一般的,函数y=f(x)在x=

处的瞬时变化率是

2.  导数的几何意义:
曲线的切线,当点

趋近于P时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线的斜率是

当点

趋近于 P 时,函数y=f(x)在x=

处的导数就是切线PT的斜率k,即

3.  导函数:
当x变化时,

便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数. y=f(x)的导函数有时也记作

,即

二. 导数的计算
基本初等函数的导数公式:
导数的运算法则:
复合函数求导 :
y=f(u)和u=g(x),则称y可以表示成为x的函数,即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用
1.  函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内
(1) 如果

>0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增;

(2) 如果

<0,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减;

2.  函数的极值与导数:
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有:
(1)如果在

附近的左侧

>0 ,右侧

<0,那么

是极大值;

(2)如果在附近的左侧

<0 ,右侧

>0,那么

是极小值;

3.  函数的最大(小)值与导数: 
求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;
(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值。
四.  推理与证明
(1)合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理。
类比推理的一般步骤:
(1)   找出两类事物的相似性或一致性;
(2)   用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)   一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的;
(4)   一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠。
(2)演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。
(3)数学归纳法
1.   它是一个递推的数学论证方法。
2.   步骤:
A. 命题在 n=1(或

)时成立,这是递推的基础;

B.假设在 n=k 时命题成立;
C. 证明 n=k+1 时命题也成立。
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n≥

,且n∈N)结论都成立。

证明方法:1、 反证法;2、分析法;3、综合法。
五.  导数中的数学思想
数形结合思想
数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法.它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁,数形结合重在结合,它们完美的结合,往往能起到事半功倍的效果.数形结合思想贯穿于中学数学的始终,在许多知识板块中都有它的身影.数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱.本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用.
例 已知函数

,当

时取得极大值,当

时取得极小值,求点

对应的区域的面积以及

的取值范围.

分析:利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围,再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于

的线性不等关系,点

所对应的区域.第(2)问利用斜率求出

的取值范围.

解:函数

的导数为

,当

时取得极大值,当

时取得极小值,则方程

有两个根,一个根在区间

内,另一个根在区间(1,2)内.

由二次函数

的图象与方程

的根的分布之间的关系可以得到

平面内满足约束条件的点

所对应的区域为

(不包括边界,其中点

如右图所示).

的面积为

为点

轴的距离)

与点

连线的斜率为

,显然

,即

整体代换思想
我们在思考问题的时侯,如果能根据题目中的结构特点,把问题中貌似独立,但实质上又相互联系的量看成一个整体,从而在宏观上寻求解决问题的途径,这种思想称之为整体思想.整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等.这种思想若运用巧妙,不仅可以简化运算,而且能够激发学生思维的灵活性.本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用.
例 已知

是定义在

上的函数,其图象交

轴于

三点.若点

的坐标为

,且

上有相同的单调性,在

上有相反的单调性.

(1)求

的值;

(2)在函数

的图象上是否存在一点

,使得

在点

的切线斜率为

(3)求

的取值范围.

解:(1)∵

上有相反的单调性,

的一个极值点.

,即

有一个解为

(2)因为

轴于点

,所以

,即

,得

因为

上有相反的单调性,

所以

假设存在点

,使得

在点

的切线斜率为

故不存在点

,使得

在点

的切线斜率为

(3)由题意,设

的函数图象交

轴于点

的坐标为

、点

的坐标为

比较系数得

.得

所以

,∴当

时,

;当

时,

.故

解后反思:本题的第(2)、(3)两问都用到了整体代换的思想,避免了求

的值,大大简化了运算.运用整体思想解题是不是很巧妙?这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的应用,在以后的学习中可要留心哟.

分类讨论思想
分类讨论是中学数学的一种解题思想,对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点,注意在分类时要不重不漏.
例1 已知

,求

的单调区间.

解:函数

的导数

.

(1)当

时,若

,则

;若

,则

内为减函数,在

内为增函数.

(2)当

时,由

内为增函数,在

内为减函数.

(3)当

时,由

内为增函数,在

内为减函数.

从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数,理解给定区间上

函数为增函数,

函数为减函数.但要确定

的符号,须对参数进行分类讨论.

例2 已知

(1)求函数

的最大值.

(2)设

,证明:

解:(1)

的定义域是

,则

.

时,

时,

,则当且仅当

时,

取最大值0.

(2)因

,设

时,

因此

内为减函数;

时,

因此

内为增函数.

从而当

时,

有极小值

又因

所以

,即

,

时,

上为减函数.

因为

,所以

所证结论成立.
该题属于典型利用导数证明其不等式的问题,一般方法是:先构造函数(多是作差函数),再用导数确定所构造函数的单调性来证明.在证明的过程中难免要分类处理,否则难以确定新函数的正负.
解题技巧
在考试过程中,很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧,尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学,只能放弃,下面为大家总结了导数七大题型,帮助大家在高考数学中多拿一分, 轻松拿下140+!
1 导数单调性、极值、最值的直接应用
2 交点与根的分布
3 不等式证明
(一)做差证明不等式
(二)变形构造函数证明不等式
(三)替换构造不等式证明不等式
4 不等式恒成立求字母范围
(一)恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离参数
(三)恒成立之讨论字母范围
5 函数与导数性质的综合运用
6 导数应用题
7 导数结合三角函数
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