不瞒你说，这可能是世上最美丽的函数 / 开普饭

本文来自微信公众号：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Kasper Müller，翻译：xux，审校：Dannis，头图来自：《美丽心灵》

无论你是从事数学研究，还是从事物理研究，或多或少都会对Gamma函数有所耳闻。有人说它是世上最美的函数，这一点见仁见智。但是不可否认的是这一优美的公式确实极其重要。今天我们就来聊聊Gamma函数的由来，以及它背后的奇妙之处。

让我先问你两个问题：

1/2的阶乘是多少？

你最喜欢的函数是什么？

如果你的答案不是Gamma函数的话，等你读完这篇文章，我再来问一遍。你的答案或许会变……

引子

18世纪20年代晚期，利昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在考虑如何将阶乘扩展到分数。故事就这样开始了：这个围绕着一个重要数学函数的、内涵丰富的理论应用到了整个科学界。

利昂哈德·欧拉

欧拉毫无疑问是最伟大的数学家之一，这里的几个例子可以让你一睹他天才的风采。

首先，欧拉有着超人的记忆力！他能把维吉尔的《伊尼特》从头到尾背下来，甚至能准确说出任何一句话位于哪一页的哪一行。要知道，《伊尼特》一共有9896行呢！

欧拉也是极度高产的。他在一生中写了大约3万页作品，据估计，十八世纪发表的科学论文中，有三分之一都肇始于他。他甚至在死后还发表了一篇文章！而且他的许多作品都是在失明后写成的，因此，欧拉也被称为 “数学界的贝多芬”。

贝多芬听不到他的音乐，同样，欧拉也看不见自己的计算。事实上，欧拉对于自己的失明十分乐观。他说：“这样，让我分心的事儿就更少了。”人们会觉得失明势必会拖他的后腿，但事实上，欧拉反倒更加高产了。

欧拉也有着非凡的计算能力。有一次，两位学生关于一个17项级数的和争执不下，因为他们结果的第55位有出入。欧拉用几秒钟心算出了正确的结果。

欧拉的同事尼古拉斯·德·康多塞特写了一篇长长的悼文，盛赞欧拉是“大自然创造出的最伟大和最卓越的人之一”。

说回来，彼时欧拉正在考虑如何扩展阶乘函数。下面就来讲讲欧拉的想法和随之而来的奇妙的性质。文章的后半部分会告诉大家，他赋予了（1/2）！什么意义，以及这个符号的值是多少。

阶乘

讲故事之前，我们先来重温一下阶乘。它是前n个自然数的乘积。

n! = n * (n - 1) * (n - 2)⋅⋅⋅ 3 * 2 * 1

比如：

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

阶乘在数学中之所以十分重要，是因为它给出了排列方式的总数。假如你的书架上有12本书，你能用多少种不同的顺序把他们排列在一起？答案是12!种，也就是大约4.79亿种。

如你所见，阶乘函数增速惊人。它是超指数的（super-exponential）：它比指数增长得还快。

Gamma函数

凡是欧拉思考的问题，最终一般都能解决。但是，真正的伟大之处在于他解决问题的方式。接下来你会发现，他那富有创意的思路和天外来客般的想法是如此智慧。

1738年，欧拉用一种积分形式推广了阶乘的定义：

这里的log是自然对数（有时写作ln）。我们做一个替换：s=exp(-t)，这里的exp是以e（这个数字也是欧拉发现的）为底的对数，我们得到：

于是我们就得到了这个漂亮的结果：

这就是欧拉的定义。要证明这个积分等于阶乘，我们把右侧的积分叫做Π(n)，然后分部积分：

利用这个函数方程，我们就可以用归纳法来证明上面的公式。我们想要证明Π(n)=n！对任何自然数n成立。首先，注意：

即，Π(1)=1!

然后，假设Π(n-1)=(n-1)!，那么我们有 Π(n)=nΠ(n-1) =n(n-1)!=n!

这里用到了上面的函数方程。根据归纳法，命题得证。注意，上面关于Π(n)的定义，n并不一定是自然数。这个表达式对所有实部为正的复数都是讲得通的。

处理广义阶乘的现代方法就是Gamma函数。Gamma函数与刚刚的Π函数十分相似，定义如下：

注意：对任何自然数n，有Γ(n)=Π(n-1)=(n-1)!。因此，Gamma函数也满足一个相似的函数方程：Γ(z+1)= zΓ(z)。

所以Gamma函数是广义的阶乘函数，因为对所有的非负整数n，有Γ(n+1)= n!。

但这是推广Gamma函数的唯一方式吗？

不幸的是，答案是否定的。然而，如果我们添加某种约束的话，它就是唯一的了。这个约束与对数凸性（logarithmic convexity）这个概念有关，因为稍微有点偏题，在这里就不详细讲了。具体的要求是函数logΓ是凸的。

TIP：一个二次可微的函数f是对数凸的，当且仅当

重要的是，如果你想推广阶乘，Gamma函数在特定的数学意义上是一个十分自然的选择。

Weierstrass积

Gamma函数的定义和形式数不胜数。一个尤其nice的是一种无穷乘积。在此之前，我们试试从我们的定义中推出一些有趣的结果吧。

我们要做的第一件事可能看起来有些奇怪，但是在数学中，有时候就是要运用直觉做出尝试，然后看看逻辑把我们带向何方。

我们讲对数函数写成极限的形式，然后代入我们对Gamma函数的定义式中。首先，回忆一下：

这可以用多种方法证明。一个很显然的路子就是用洛必达法则求极限。但在这里，我们用另一种方法。记得闭形式几何级数吗：

这在|x|<1的情况下成立。

注意，若把x替换成-x，就得到：

现在我们可以对两侧进行进一步操作：

假设n>x，然后可以做代换z=x/n:

现在，如果我们取n趋向于无穷的极限，显然有：

以这个结果作为工具，算出最终的结果就是一件十分直接的事情了：

最一个简单的替换，就得到了下面这个等价的形式：

现在我们就可以在Γ(z)的定义中运用这个结果。

把极限符号右侧的积分记作I(n,z)。

多次运用分部积分，我们得到：

继续这种模式，最终消掉了1-t/n的指数项，我们整合一下就得到：

为了得到Γ(z)，取极限

这本身已经是一个非常nice，并且很著名的结果了。但我们不想就此打住。

我们对这个极限继续做一些简单的操作：

这里，我们在e的指数上加上和减去了Σz/i，这里的log仍是自然对数。

我们现在可以将指数化成多项的乘积：

回忆一下欧拉常数的定义：

若对上面Gamma函数的表达式取极限，我们就得到一个美丽的结果，叫做Gamma函数的Weierstrass积。

看，这是一颗数学的珍珠呢！在某种程度上，这是Gamma函数的一个更好的表达式，我们过会儿再回来。

欧拉的反射公式

数学中最美丽的关系式得益于欧拉。不过这次我说的不是他著名的欧拉恒等式，而是反射公式。欧拉发现了下面这个令人惊奇的结果，将Gamma函数与三角函数联系了起来。

证明如下：

顺便提一句，sin函数的无穷积也是欧拉发现的！

如果想看他的证明，你可以去读他的文章《Infinity in Numbers》。

Gamma函数的Weierstrass积可以写成：

通过比较Γ(z)和Γ(-z)我们就能得到：

然后我们可以运用Gamma函数的函数方程Γ(1-z)= -zΓ(-z)来导出：

很明显z不可为整数，否则分母为0。

Gamma函数的应用

Gamma函数在数学中可谓无处不在。从统计学、数论、复分析，到物理中的弦理论。Gamma函数就像把不同领域粘合起来的数学胶水。接下来我们将会看到，其实有个非常好的理由解释这一点。

黎曼Zeta方程

它对数论非常重要，原因之一就是它与黎曼Zeta方程有特殊的关系。我们再来看一下定义，但这一次围绕着一个替换展开。令n为自然数，然后作替换t=nx，我们得到：

由于这一结果对任何自然数n成立，我们可以对两边取和，得到：

于是我们得到了关于Zeta函数和Gamma函数的美丽关系：

然而，这只对Re(s)>1成立。

这是两个函数具有紧密关系的第一个提示。一个更深层次且更有趣的结果，也是我认为世界上最为美丽的函数方程，就是下面这个（这里我们不证明，直接给出）：

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在1859年发现了它，它通过Gamma方程给出了Zeta方程的很多信息。

例如，在负偶数整数处可以清楚地看到ζ的平凡零点。这是因为，通过解析地将Γ(s)延续到整个复平面，我们看到它在非正整数处有极点。因为左边的Gamma因子在负偶数整数处发生blow up，而右边是有限的，所以在这些点上ζ(s)必须为零。

在理论物理学中，Euler发现的Beta函数，在1968年被意大利理论物理学家加布里埃尔·维尼齐亚诺（Gabriele Veneziano）用来描述强相互作用的介子。欧拉Beta函数可以定义为 B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)。这是因为它描述了弦论中第一个已知的散射振幅，在某种意义上是解决这个问题的唯一方法。这也与Γ的负整数的极点有关。

另一个非常漂亮的结果是Gamma函数的增长。这就是所谓的斯特林公式：