方法 | 用坐标伸缩变换解决椭圆问题

来源：数学三剑客（ID：Math-119）；作者：宋波

作者：宋波，男，中学高级教师，甘肃省青年教学能手，兰州市骨干教师，兰州市优秀教师，兰州市教科研工作先进个人。主要从事高中数学教育、解题思想和方法、高考复习的教学研究工作。发表论文 50 多篇，主持和参与多项省、市级课题的研究工作，已有三项课题通过市级鉴定， 有三项教研成果获得兰州市和甘肃省基础教育科研优秀成果一等奖一次和三等奖三次。

一 、知识梳理

在高中数学新课标选修 4-4 中，介绍了平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。在坐标伸缩变换下，椭圆就可以变为圆，二者有很多相似的性质，从而可将椭圆的有些问题用圆的知识来处理，比如研究直线和椭圆、椭圆和椭圆的位置关系、与椭圆有关的问题时，用坐标伸缩变换转化为相应的直线和圆、圆和圆的位置关系、与圆有关的问题来处理。这样做不仅可以方便理解，还可以避免较为繁琐的计算过程。下面分类举例予以说明。

二、以不同知识载体出现的高考题型

如下分别介绍七种载体所对应题型的常见处理方法。

题型1

线和椭圆的位置关系

题型2

椭圆和椭圆的位置关系

题型3

求椭圆的中点弦直线方程

题型4

求椭圆上的动点到定直线（或定点）距离最值

题型5

求椭圆的方程

题型6

求以椭圆为载体的动点轨迹方程

题型7

解决以椭圆为载体的有关证明问题

三 、结尾语

用坐标伸缩变换使得椭圆问题化作圆处理，运用好圆的性质，不仅解决了常规方法下运算量大、较难处理的椭圆问题，还能充分地感受到平面几何的魅力。当然，椭圆问题的圆化处理还有其它很多方面的应用，大家如有兴趣，可作进一步探讨，相信会有更多收获。

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