圆的证明计算题型解析
类型一、切线的性质
【例题1】如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，
过点C作CE⊥AB，交⊙O于点E，垂足为点D.
(1)求证：∠PCB＝∠BAC；
(2)过点B作BM∥PC交⊙O于点M，交CD于点N，连接AM.
①求证：CN＝BN；
②若cosP = 4/5 , CN = 5 , 求AM的长.
例题1图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1所示，连接OC，交BM于点F.
解图1
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC.
∴∠PCO＝90°.
∴∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°.
∴∠PCB＝∠ACO.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠BAC.
∴∠PCB＝∠BAC.
(2)
例题1图
①证明：
∵BM∥PC，
∴∠CBM＝∠PCB.
∵CE⊥AB，
∴︵BC＝︵BE.
∴∠BAC＝∠BCE.
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.
∴CN＝BN.
②解：
例题1图
∵BM∥PC，
∴∠MBA＝∠P.
∴cos∠MBA＝cosP＝4/5.
在Rt△BDN 中，
cos∠MBA＝BD/ BN＝4/5，BN＝CN＝5，
∴BD＝4.
∴CD＝CN＋ND＝8.
在Rt△OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2.
解得r＝10.
∴AB＝2r＝20.
∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°.
在Rt△ABM 中，cos∠MBA＝BM/ AB ＝4/ 5，AB＝20，
∴BM＝16.
类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为点C，交⊙O于点A，
连接PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若tan∠BAD＝2/ 3，且OC＝4，求BD的长．
例题2图
【参考答案】
解：
(1) 如解图1所示，连接OB，则OA＝OB.
解图1
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC.
∴OP是AB的垂直平分线．
∴PA＝PB.
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌ △PBO ( SSS )．
∴∠PAO＝∠PBO.
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO＝90°.
∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA.
∴PA是⊙O的切线．
(2) 如解图2所示，连接BE.
解图2
在Rt△AOC 中，
tan∠BAD＝tan∠CAO＝OC/ AC＝2/ 3，且OC＝4，
∴AC＝BC= 6 .
∵PA⊥OA，OP⊥AB，
∴∠PAC＋∠OAC＝90°.
∴∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.
∴∠APC＝∠OAC.
∴△PAC∽△AOC.
∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 .
解得PC＝9.
∴OP＝PC＋OC＝13.
解图2
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，
∵AC＝BC，OA＝OE，
∴OC为△ABE的中位线．
∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
.∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，
过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，
其中∠FDE＝∠DCE.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
例题3图
【参考答案】
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1
∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径．
又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，
∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°.
∴DF⊥BD.
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝1/2AC＝2√3.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°.
∴∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.
∴DE＝1/2AD＝1/2× 2√3＝√3. （∠A= 30°）
解图1
在Rt△BCD 中，
在Rt△BED 中，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE.
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE.
∴DF/ BD = DE / BE , 即DF/ 2√7 = √3 / 5 ,
∴DF＝2√21/ 5 .
类型四、三切线模型
【例题4】如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BD，AC与⊙O相切于点A，点E为⊙O上一点，
且AC＝CE，连接CE并延长交BD于点D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)连接AD，BE交于点F，⊙O的半径为2，当点F为AD中点时，求BD的长．
例题4图
【参考答案】
(1)证明：如解图1，连接OC，OE.
解图1
∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°.
在△ACO和△ECO中，
∴△ACO≌ △ECO ( SSS )．
∴∠OEC＝∠OAC＝90°.
∴OE⊥DC.
∴CD为⊙O的切线．
(2)解：如解图2所示，连接OF，AE，过点F作FG⊥BD于点G.
解图2
∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.
∴FG∥AB.
∴∠ABF＝∠BFG.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠FGB＝90°.
∴△ABE∽△BFG.
∴AB/ BF ＝BE/ FG .
解图2
∵点F为AD中点，O为AB中点，
∴OF∥BG.
易证四边形OFGB是矩形．
∴FG＝OB＝2.
∵AB是⊙O的直径，AB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线．
由(1)知CD是⊙O的切线，
∴DB＝DE.
∴∠DEB＝∠DBE.
∵∠ABD＝90°，点F为AD中点，
∴BF＝FD.
∴∠DBE＝∠FDB.
∴∠FDB＝∠DEB.
解图2
又∵ ∠FBD＝∠DBE，
∴△FBD∽△DBE.
∴BF/ BD＝BD/ BE .
∴BD2＝BF·BE.
设BF＝a，BD＝n.
∵△ABE∽△BFG，
∴AB/ BF = BE / FG ,
∴4/ a = BE / 2 ,
∴BE= 8 / a ,
∵BD2＝BF·BE，
∴n2＝a· 8 / a .
∴n2＝8.
∴n＝2√2( 负值舍去)．
∴BD的长为2√2.