【数学思想系列】函数与方程思想一题多解
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．
方程思想是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其它各量，根据题中隐含的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以求得问题的解决．
函数与方程是整体与局部、一般与特殊、动态与静止等相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化．
【典型例题】
例1．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD＝BP；③PE＋PF＝
PC；④PE＋PF＝PC．其中正确的是（ ）．
A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③
【思路点拨】
①本题正方形ABCD的边长未知，可以设边长为x或者4x，也可以直接用特殊值法令边长为4，继而表示出所有的线段长度，得出相应的结论即可．
②通过建立平面直角坐标系，取正方形的边长为1个单位长度或a个单位长度，表示出各点的坐标，进而求出直线解析式，求出所有点的坐标，得到线段长度即可．
③本题的难点在于对第3、4两个结论的判断，正方形中存在中点，可以考虑构造与中点有关的辅助线．
【解题过程】
【方法一】
解：令正方形ABCD的边长为4，则AB＝BC＝CD＝AD＝4，BE＝CE＝CF＝DF＝2，
∵正方形ABCD，∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，∴∠AFD＋∠CDE＝90°＝∠DPF，
∴AF⊥DE，故①正确；
过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGE＝90°，
【方法二】
解：设正方形ABCD的边长为4x，则AB＝BC＝CD＝AD＝4x，BE＝CE＝CF＝DF＝2x，
∵正方形ABCD，∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD＝∠DEC，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，∴∠AFD＋∠CDE＝90°＝∠DPF，
∴AF⊥DE，故①正确；
过点P作PG⊥BC于点G，则∠PGE＝90°，
【方法三】
解：如图，以点B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长AB＝BC＝CD＝AD＝a，则点A（0，a），B（0，0），C（a，0），D（a，a），
【方法四】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD，E，F均为中点，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB，EC＝DF＝DC，
∵在△ADF和△DCE中，AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，
∴∠AFD＋∠CDE＝90°＝∠DPF，∴AF⊥DE，∴①正确；
（2）【方法一】
如图，分别延长AB，DE交于点G，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC＝∠GBC＝∠BDC＝90°，AB＝CD＝AD，
∵E是BC中点，∴BE＝CE，又∵∠BEG＝∠CED，∴△BEG≌△CED，
∴BG＝CD＝AB，即点G是AG的中点，
由（1）得AF⊥DE，∴BP＝AB＝AD，∴②正确；
【方法二】
如图2，过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，
∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中点，∴BG⊥AP，G是AD的中点，
∴BG是AP的垂直平分线，∴△ABP是等腰三角形，∴BP＝AB＝AD，∴②正确；
（3）如图3，延长DE至N，使得EN＝PF，连接CN，
∵∠AFD＝∠DEC ，∴∠CEN＝∠CFP，∵E，F分别是BC，DC的中点，
∴CE＝CF，∵在△CEN和△CFP中，CE＝CF，∠CEN＝∠CFP，EN＝PF，
∴△CEN≌△CFP（SAS），∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，
∵∠PCF＋∠BCP＝90°，∴∠ECN＋∠BCP＝∠NCP＝90°，
∴△NCP是等腰直角三角形，∴PN＝PE＋NE＝PE＋PF＝PC，
∴③正确，④错误；
∴综上所述，①②③正确．
故答案为：D．
【总结】通过使用函数或方程将复杂问题简单化．
【变式练习】
（14天津）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为 °．
【解析】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，
∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y．
∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y．
在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，
∴x＋（90°－y）＋（x＋y）＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°．
故答案为：45．