非欧几何的有什么作用

黎曼几何本身也是一个自洽的知识体系。黎曼几何和罗氏几何由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。

为什么数学家们要“吃饱了撑的”，把我们生活的三维扭曲成各种形状，这种虚构出来的几何学体系有用么？要知道，欧几里得所确定的公理已经经过了两千多年的实践检验。应该讲，罗巴切夫斯基和黎曼在构建各自的几何学体系时，也不知道它们有多少实际用途。

不过，黎曼作为数学家，他希望一些涉及到曲面的数学问题在解决的时候简单一些。比如在一个三维的欧几里得空间，一个球面的方程是x^2+y^2+z^2=25，而在黎曼空间中，它就是R=5这么简单。虽然它们在数学上是等价的，但是形式上差异很大。黎曼就希望在解决球面和其它曲面的问题时，最好有形式上比较简单一致的表述方式。

但是，在黎曼几何诞生之后的半个多世纪里，它也没有找到太多实际的用途，真正让它为世人知晓的并非其他数学家，而是著名的物理学家爱因斯坦。在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。

根据爱因斯坦的理论，一个质量大的物体（比如恒星），会使得周围的时空弯曲，牛顿所说的万有引力被描述为弯曲时空的一种几何属性，即它的曲率。爱因斯坦用一组方程，把时空的曲率，其中的物质，能量和动量联系在一起。

之所以采用黎曼几何这个工具，而不是欧氏几何来描述广义相对论，是因为时空和物质的分布是互相影响的，并不像牛顿力学里面所认为的时空是固定的。特别是在大质量星球的附近，空间被它的引力场弯曲了：

在这样扭曲的空间里，光线走的其实是曲线，而不是直线。1918年，爱丁顿爵士利用日食观察星光曲线的轨迹，证实了爱因斯坦的理论。这件事也让黎曼几何成为了理论物理学家们很常用的工具。

比如，在过去30年中，物理学家对超弦的理论极度着迷，而黎曼几何（以及由它派生出的共形几何），则是这些理论的数学基础。此外黎曼几何在计算机图形学和三维地图绘制等领域有广泛的应用。特别是在计算机图形学中，今天计算机动画的生成离不开它。

既然黎曼几何在很多应用中证实了它的“正确性”，而它的很多结论和欧几里得几何又不相同（比如三角形三个角之和大于180度），是否说明欧几里得几何是错的呢？如果不是，又该怎样理解这样两个不同的几何体系的共存呢？这个问题到了19世纪末已经被数学家们想清楚了。

如果你重新看一遍欧几里得提出的那些公理，就会发现一个问题，他其实根本没有定义什么叫做平面。虽然我们在中学时把所学的欧几里得几何称为了平面几何，但是我们脑子里所想的平面其实是没有定义的，我不知道老师是出于什么原因，把这个问题一带而过了，可能是觉得十几岁的孩子不容易接受比较抽象的概念吧，干脆省略了。