几何概率

几何概率是可以用几何方法求得的概率。

向某一可度量的区域内投一质点，如果所投的点落在门中任意区域 g 内的可能性大小与 g 的度量成正比，而与 g 的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随机试验或几何概型。

此处的度量就是测度，一维指长度，二维指面积，三维指体积等。

先看几个好玩儿的题目。

（一维）题目1:有个车站，有两班开向相反方向的火车，都是一小时一班，停车时间很短。某人随机来到站台，哪辆车来了就上哪辆车。结果90%的时间他都去了东边儿，请问为什么？

答案：（这道题是我十年前在一个群里抢答的题目，记得当时在浦东机场候机…你在纸上画一下就能算出来。

（二维）题目2:将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率。

（三维）题目3:如何知道西湖里有多少鱼？

解答：假如西湖里有很多鱼，再往湖里放一万条做好记号的鱼（不破坏生态的）。然后随机捕捞，假如其中作记号的鱼占1/x，那么原来有鱼x万条。

这方面题目比较常见的是下面这个：

题目4:两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率。

解答：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，40分钟是2/3小时。

两人到达约见地点。所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示．

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：

此外，想起蒙特卡洛法：

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。

蒙特卡罗方法基于这样的想法：假设你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。

使用蒙特卡罗方法估算π值. 放置30000个随机点后,π的估算值与真实值相差0.07%.

所以，上帝到底扔不扔骰子？