两个“单身汉”互掐了半辈子，到最后竟然引发了第二次数学危机？
我居然跑不赢
一只龟
看文章前，我们先来讨论一个问题：“假设有一笔钱，先花它一半，再花它剩下的一半，这么花下去，是不是永远花不完？”。
看起来这个问题无懈可击，找不到bug，但是实际上要是能实现的话，我相信应该也没穷人了吧，毕竟大家都花不完的钱了。
悖论引发的乌龟问题
这个其实也是著名的“芝诺悖论”——“两分法”。
一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2，”如此循环下去，永远不能到终点。
当时芝诺为了让大家理解这个观点，还创造出物理学第一神兽芝诺的乌龟。
他让古希腊神话中善跑的英雄阿喀琉斯和乌龟一起赛跑。 在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他永远追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，所以当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟！也就是说，阿克琉斯永远也追不上乌龟！
这只龟就不一般啊，因为它的的出现困扰了数学家一千多年。
就当大家为这只乌龟想秃了头时，微积分出现了！大家仿佛看到了希望的曙光。
因为微积分的极限思想和芝诺悖论有着同样的本质，意味着只要解决微积分里的极限问题，也就顺带着可以解决了这只乌龟。
微积分里的爱恨情仇
说到微积分，不得不说提到牛顿和莱布尼茨这两大巨头，毕竟他们俩为了争夺“微积分”的版权互掐了半辈子，以至于两个人的个人问题都没解决（都单身）。
1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，学校关闭，本来要去剑桥大学任教的牛顿只好去母亲的农场里呆了一年。
牛顿毕竟是牛顿，在农场帮老妈管理的日子他还顺便搞起了研究。
三大运动定律、万有引力定律和光学的研究也都是开始于这个时期。在研究这些问题过程中，他发现了他称为“流数术”的微积分。
在1666年，他虽然写几篇关于流数术的文章，但他并没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。
同样的，来自德国的莱布尼茨在1675年也发现了微积分，但是发现归发现，跟牛顿一样，低调的他，也没有具体的发表这方面的文章。
直到1684年，莱布尼茨才正式发表他对微分的发现。
两年后，他又发表了有关积分的研究，在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，然后很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。
起初没有人来争夺微积分的版权。但是1699年，一名移居英国的瑞士人为了讨好英国人，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，这件事也不了了之。
据传那个瑞士人与莱布尼茨也有点私人恩怨，可能也是想搞搞莱布尼茨。
微积分教科书的出版后，牛顿坐不住了，毕竟自己早就发现了这个成果，只是低调没有发表，想不到被你这个莱布尼茨抢了先。
于是在1704年，牛顿在其光学著作的附录中，首次完整地发表了其流数术。
但是当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。
于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。
1711年，英国皇家学会会员约翰·凯尔在致王家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。
身为皇家学会会员的莱布尼茨也不是吃素的，要求皇家学会禁止凯尔的诽谤。
可是又有什么用呢，要知道，此时牛顿可是皇家学会的会长。
而且牛顿还装得一手好路人。虽然在公开的场合，他假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。
于是皇家学会调查此事后，认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。所以牛顿胜出！
但后人通过研究莱布尼茨的手稿发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的：
牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。
牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，而莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，所以其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。
所以现在一般也把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。
第二次数学危机的前世今生
微积分的版权问题虽然解决了，但是又有一个新的问题出现了。
微积分里面，有一个量叫做“无穷小”，那这个无穷小会不会是零？
在当时起了极大的争论，有个叫贝克莱的小伙子就坐不住了。
在1734年，他写了一本书。在书里，贝克莱对牛顿的理论来了个致命一击，指出在求x的平方的导数时，会出现以下矛盾。
他认为这在无穷小量在实际应用中，它必须既是0，又不是0，
关于这个贝克莱，那他就不是“一般人”，他有一句名言：“存在就是被感知”。
据说有一次，贝克莱突发奇想，他想知道上吊是什么感觉，行动派的他说干就干！
如果不是有朋友及时赶到，他早就死翘翘了。
被这么个“猛子”盯上，牛顿慌了，心想当初还不如版权给莱布尼茨还没这么多事呢。
虽然在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
本来就有点发虚的牛顿被贝克莱咄咄逼人的气势吓的，一会儿说无穷小是零，一会又说不是零。
因此，贝克莱嘲笑无穷小量是：“已死掉的幽灵”。
于是继龟龟问题后，有关无穷小是不是0的问题又成了第二个让数学家们头痛的问题。第二次数学危机正式爆发。
好在到了19世纪，以柯西与康托尔为代表的，一大批顶尖数学家经历了半个多世纪，终于建立起了严谨的极限理论和实数理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。