2021大庆中考数学压轴，有两个问题蛮烧脑的，你有没有更好的方法

如图, 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A, 且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1).

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)抛物线的对称轴上存在定点F, 使得抛物线上任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等.

①证明上述结论并求出求F的坐标;

②过点F的直线l与抛物线交于M,N两点,

证明：当直线l绕点F旋转时,1/MF+1/NF是定值, 并求出该定值;

(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点, 在x轴, y轴上分别找点P,Q, 使四边形PQBC周长最小, 直接写出P,Q的坐标.

分析：这道题两头比较简单，中间特别烧脑。

解：(1)依题意, c=0, B(2,-1),

∴-b/(2a)=2, -b^2/(4a)= -1, (利用了顶点公式)

解得：a=1/4, b= -1.

∴抛物线的解析式为：y=x^2/4-x.

分析：(2)第二小题这两个问题都很烧脑。第一个问如果先设F的坐标，可能会比较麻烦。不如直接先由特殊情况求得F点的坐标。再证明F点的坐标符合条件。就取点G在顶点B时的情形，此时F点与(2,-2)(就是对称轴和y=-2的交点)重合或B是它们的中点。重合的情况不合理，要舍去，题目中可以不交代，也可以交代，如果要说明就比较累赘。

解：(2)①若存在满足条件的F点, 则B点是F点和(2,-2)的中点,

即F(2,0)或F(2,-2)(舍去).

记G(g, g^2/4-g), 则

GF^2=(g-2)^2+(g^2/4-g)^2=g^4/16-g^3/2+2g^2-4g+4. (为了避免根号麻烦，干脆求GF的平方)

设G到直线y=-2的距离为s, 则

s^2=(g^2/4-g+2)^2=g^4/16-g^3/2+2g^2-4g+4=GF^2,(两个正数的平方相等，他们就相等，这样可以避免因式分解的麻烦)

即s=GF,

∴存在满足条件的定点F(2,0).

分析：(2)第二小题的第二个问题要利用一元二次方程根与系数的关系，动算量稍大。

解：(2)②可设l为：y= -bx/2+b, （可以用待定系数法，代入F点的坐标，再求得k=-b/2）

M(m, -bm/2+b), N(n, -bn/2+b) (因为两点在直线l上，所以可以这样设，比设抛物线的函数为纵坐标简便)

当x^2/4-x=-bx/2+b时, 可化为x^2/4-(1-b/2)x-b=0.(这是以两个交点M，N的横坐标为根的一元二次方程)

由①可知MF= -bm/2+b+2, NF= -bn/2+b+2.

1/MF+1/NF=(MF+NF)/(MF·NF)

=[-b(m+n)/2+2b+4]/[(-bm/2+b+2)(-bn/2+b+2)]

=[-b(m+n)/2+2b+4]/[b^2mn/4-(b^2/2+b)(m+n)+b^2+4b+4]

=[-2b(1-b/2)+2b+4]/[-b^3-4(b^2/2+b)(1-b/2)+b^2+4b+4]=1. (m,n就是上面的一元二次方程的两个根)

分析：(3)最后一小题反而没有那么难。这种问题是有套路的，就是两次将军饮马问题的结合。

先求C点的坐标：当x=3时,m=9/4-3=-3/4, C(3,-3/4)。

然后作B点关于y轴的对称点B’(-2,-1),C点关于x轴的对称点C’(3,3/4), 连接B’C’交x轴, y轴于点P, Q, 这时四边形PQBC周长最小，因为BQ=B'Q, CP=C'P, 四边形的周长被展开成一条线段，两点之间，线段最短。

再根据B',C'的坐标，求直线B’C’的解析式为：y=7(x+2)/20-1,

当x=0时, y= -3/10,

当7(x+2)/20-1=0时, x=6/7，

这就可以得到P,Q的坐标了。按要求，只要直接写出坐标就可以。

解：(3)P(6/7,0), Q(0,-3/10).

没有校对过答案，若有粗心写错的地方，请见谅，关键是思路和方法。