填空题中的变态题型

有时候不要小看一道填空题，每场考试的选择填空最后一个小题可能都是比较有难度的压轴类型小题，今天这道就是如此。

解析：矩形长宽已知，PE=2FQ，

所以PQ长度最大的时候就是P到A处，所以这第一个空很简单；

关键是第二个，DH长度的最小值，

遇到线段长最小值，一般直接考虑三点共线，

D是定点，但H是个动点，所以还需要有一个定点来构成三点共线，而且这第三个点到H的距离必须是保持不变的，

所以如果单从这个思路去找线索，并不容易，

题中出现了E和F两个中点，我们不妨连接一下EF

假设和PQ交点为G，同时可得∠BEF=90°，

这个时候，需要同学们能够发现∠BHQ恒为90°，

而这两个90°的角还可以写作∠BHG、∠BEG

两个相等的角貌似对应同一条线段

所以我们连接BG

这样一来，B、E、H、G四点共圆，而且BG还是直径

那么在这个共圆当中，不变的线段出现了，就是半径

所以我们取圆心，即BG的中点，假设为M，同时连接MH，

这样MH=r，而且B、G、M都是定点，

所以H在以M为圆心，BM为半径的圆上，

那么当D、H、M共线时，DH最短

根据FQ：PE=1：2，可知FG=1，EG=2，

同时BE=2，所以可知r=√2

那么我们还需要知道DM的长度，

根据计算可知M到DC的距离为2，到AD的距离为3

所以可得DM长度√13

那么DH最小值为√13-√2；

如果采用坐标系的方法，以A为原点建立平面直角坐标系，

假设P的横坐标t，则可得Q的横坐标，结合PQ过定点Q，且Q坐标固定，

可写PQ直线解析式，

根据BH⊥PQ，以及B坐标

可得BH解析式，

联合求出H的坐标

那么DH长度可表示，解出DH的最小值即可；

计算过程不知如何，有兴趣自己尝试。

该方法建议在几何推理中找不到方法时，纯计算暴力解决。