2021 中国台湾地区数学奥林匹克 -中文翻译

需要从英文回译就离谱……但是我也没有办法呀.

点击”阅读原文”,可以跳转至英文原文.

1.(本题目选自2020IMO预选题,不宜此时公开,将于2021IMO举办之后曝光)

2.求所有的正整数 ,满足,存在的一组排列 ,使得

3.给定正整数.已知是平面上若干个整点构成的集合,这些点的定义为它们组成了一个 的点阵. 在每个点上有一头猪, 他的猪头的朝向只有4种可能:  
面朝轴, 背对轴,面朝轴, 背对轴;
智多星需要保留其中头猪,去掉其他的猪,然后进行如下操作:
在每回合中, 每头猪保持当前朝向前进一个单位;
若某头猪的位置离开了集合, 那么他立即被移动到中的位置,且满足 , .
(例如, 某只猪在某回合中从 移动到了,那么它立即被转移到了.)
当所有猪移动完毕后,立即开始下一回合.
智多星需要保证,在每一回合中, 任意两只猪不会相遇, 即每只猪的终点既不是另一只猪在当前回合的起点,也不是另一只猪在当前回合的终点.
证明:无论每只猪的初始朝向如何,智多星总可以选择适当的猪,保证目标实现.

(编者注: 事实上, 是最适当的值, 即如果智多星需要保留头猪, 那么一定存在某个朝向,使得他无法完成目标.)

4.在中, 为内心,为内切圆在边上的切点. 作关于的对称点, 已知 .以为圆心, 为半径作圆, 圆与分别交于点, .
过作,与再次相交于点.
求证:, , 三线共点.

5.给定正整数. 甲乙两人玩如下游戏:
首先, 甲构造一个次数不超过的整系数多项式.
乙并不知道这个多项式本身,他的目标是,确定是否存在整数, 使得不存在整根.
乙可以任选常数,然后询问甲, 方程的整根的个数. 每次询问乙需要付给甲一块钱.  
那么,为保证完成目标,乙至少需要付给甲多少钱?