2021越南IMO代表队选拔考试 -中文翻译

第一天

1.数列 定义为 ,且对任意 , , .
(1)求所有正整数, 使得对任意整数, 均有.
(2)证明存在无穷多个正整数, 使得对所有正整数, 均有.

2.在一个的网格表中, 选取个单元格, 使得与任意一个被选取的单元格有公共顶点的单元格中, 至多有一个单元格被选取. 求的最大值.

3.已知为平面上异于三个顶点的一点. 设为关于的对称点, 为关于的对称点, 并类似的定义点 .  设为过点的的垂线, 并类似的定义直线.
(1)若为的垂心, 证明 分别关于的平分线的对称直线为同一条直线.
(2)若为的九点圆圆心, 证明 关于 的对称直线共点.

第二天

4.非负实数 满足
求证:

5.给定圆以及圆周上两点. 设点为圆周上的动点, 使得为锐角非等腰三角形. 已知为中点, 为的三条高. 在射线 上分别取点 ,使得 .设 与 交于点,圆 与圆 再次相交于点.
(1)证明圆 过一个定点.
(2)设与圆再次相交于点. 过作t 分别与过的圆的切线交于点.若为圆的圆心, 证明过一个定点.

6.正整数, 素数.设为个模的余数互不相同的正整数组成的集合. 证明存在正整数, 使得恰有两组元素互异的三元有序实数组, 满足被整除.