每日一题359：基于二重积分基本计算性质简化积分计算求解积分的思路与方法
练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习359：计算二重积分
其中是由, , 所围成的闭区域.
【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！
【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
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练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习359：计算二重积分
其中是由, , 所围成的闭区域.
【参考解答】：如下图. 添加辅助线将积分区域分给为上下两部分，分别记作 上下.
则上关于轴对称， 下关于轴对称. 将被积函数通过线性运算拆分为两个部分. 其中
分别关于变量和变量都为奇函数；
关于变量为奇函数，故由二重积分偶倍奇零的计算性质，得
于是基于二重积分对积分区域的可加性，得
【注】 (1) 当积分区域整体不具有对称性时，可以考虑分割积分区域，使其部分，或者所有子区域具有对称性时，可以基于积分对积分区域的可加性，在具有对称性的子区间上基于积分“偶倍奇零”的计算性质，或者轮换对称性来简化积分计算，简化、转换需要计算的积分模型。
(2) 当被积函数整体不具有奇偶性时，如果基于积分的线性运算性质，可以将被积函数拆分为具有奇偶性的函数积分来计算时，则可以在对称区间上针对于每个积分单独应用积分偶倍奇零的计算性质来简化，转换积分计算模型。
(3) 积分区域对称性的考察，一般比较有效的方法是考察描述区域的边界曲线方程或者不等式. 通常考察的积分区域对称性方法和二重积分“偶倍奇零”结论如下：
当将描述区域的所有方程与不等式中的所有替换为时，所描述的积分区域不变时，或者说描述的方程与不等式不变时，则积分区域关于 轴对称；此时考察被积函数关于变量的奇偶性，即
当将描述区域的所有方程与不等式中的所有替换为时，所描述的积分区域不变时，或者说描述的方程与不等式不变时，则积分区域关于 轴对称；此时考察被积函数关于变量的奇偶性，即
当将描述区域的所有方程与不等式中的所有分别替换为时，所描述的积分区域不变时，或者说描述的方程与不等式不变时，则积分区域关于原点轴对称；此时同时考察被积函数关于 变量的奇偶性，即
当被积函数与积分区域具有如上对应关系时，则二重积分具有“偶倍奇零”的计算结论.
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