中考数学压轴题模型总结——平分面积问题

方法一 三角形的面积平分

①三角形的中线将三角形面积平分

②构造以下模型，通过等面积转换，作出面积平分线

如图，在梯形ABCD中，易证△OAB和△OCD面积相等，我们不妨称之为“蝴蝶模型”。

构造蝴蝶模型的关键点：平行线

构造蝴蝶模型的目的：等面积转换

【例1】如图，过△ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分△ABC的面积.

【简答】取BC中点M，连接AM，则△ABM和△ACM的面积相等，连接AP，过M作AP的平行线MN，构造“蝴蝶模型”如图，∵△OAN和△OPM面积相等，∴△BNP和四边形ACPN面积相等。

方法二 平行四边形的面积平分

结论1：过平行四边形中心的任意一条直线，平分该平行四边形的面积。

结论2：任何图形，只要能找到它的中心，那么过中心的直线平分这个图形的面积。

【例2】如图平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点，过点P求作一条直线，使其平分平行四边形ABCD的面积。

【简答】连接BD、AC交于O点，则直线PO即为所求作的直线。可用全等证明，过程略。

【例3】现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮师傅设计三种不同的分割方案.

【简答】如图所示，三种方法都是取大小两个平行四边形的中心，连接即可。

方法三 梯形的面积平分

结论1：梯形上下底中点的连线平分该梯形的面积。

结论2：过梯形上下底中点的连线的中点，且与上下底有交点的直线，平分该梯形的面积。

方法四 不规则四边形的面积平分

对于不规则图形，如何作面积平分线呢?

如图四边形ABCD，过A点求作一条直线，使其平分四边形的面积。

做法：连接AC，过D作AC的平行线与BC延长线交于M点，连接AM，取BM的中点G，则直线AG平分四边形ABCD的面积。

理由如下：由“蝴蝶模型”知△AOD和△COM的面积相等，则△AGM和四边形AGCD的面积相等，又∵△AGM和△AGB的面积相等，∴△AGB和四边形AGCD的面积相等。

方法五 三等分问题

1. 将线段三等分的尺规做法

例如：用尺规作图法将线段AB三等分