导数的应用---导数单调性、极值、最值的直接应用（1）
一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）
1、（切线）设函数
.
（1）当
时，求函数
在区间
上的最小值；
（2）当
时，曲线
在点
处的切线为
，
与x轴交于点
求证
：.
解：(1)
时，
，由
，解得
.
的变化情况如下表：
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
- |
0 |
+ |
||
|
|
0 |
↘ |
极小值 |
↗ |
0 |
所以当
时，
有最小值
.
(2)证明：曲线
在点
处的切线斜率
曲线
在点P处的切线方程为
.
令
，得
，∴
∵
，∴
，即
.
又∵
，∴
所以
.
2、（极值比较讨论）
已知函数
其中
,
⑴当
时，求曲线
处的切线的斜率；
⑵当
时，求函数
的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴
⑵
以下分两种情况讨论：
①
＞
，则
＜
.当变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
— |
0 |
+ |
|
|
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
②
＜
，则
＞
，当x变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
— |
0 |
+ |
|
|
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
3、已知函数
⑴设两曲线
有公共点，且在公共点处的切线相同，若
，试建立b关于a的函数关系式，并求b的最大值；
⑵若
在(0,4)上为单调函数，求a的取值范围。
4、（最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－
.
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.
解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝
.
∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f ′(x)＝
，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝
，∴a＝－
(舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－
=
，∴a＝－
(舍去).
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f ′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝
⇒a＝－
.
综上可知：a＝－
.
5、（最值直接应用）已知函数
，其中
.
（Ⅰ）若
是
的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）若
在
上的最大值是0，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）
.
依题意，令
，解得
. 经检验，
时，符合题意.
（Ⅱ）解：① 当
时，
.
故
的单调增区间是
；单调减区间是
.
② 当
时，令
，得
，或
.
当
时，
与
的情况如下：