4.22月考试题例析
25、如图1（注：与图2完全相同），二次函数y=4/3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；
（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．
分析：本题第1、2问好解决，是同学们平时经常见到的。第一问已知两点求抛物线解析式，直接带入求解即可；第二问求三角形面积，可以拆分补形，都是处理方法；第三问很多同学遇到了困难。在第三问中，我们首先根据题意可得AP=AQ，而由折叠易得PE=PA，QE=QA，故而四边相等，四边形APEQ是菱形。求点E的坐标是本题的难点。事实上，本题是2014年遵义中考题的变式，我们先来看看那道中考原题，再来解决E点的坐标问题。
变式
（2014·遵义）如图，二次函数y=4/3x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
解答过程如下：
事实上，上述过程也即解决了月考题中的第三问。但是事实上，第三问的解决方法并非答案这一种。任何题目的处理我们都要学会从图形性质根源出发去思考，这样可以帮助我们分析！
本题第三问，我们已经判定出四边形APEQ是菱形了，那我们可以充分考虑菱形的性质。菱形最本质的性质就是其中心对称性和轴对称性，尤其是其轴对称性是考察的热点。事实上我们可以连接AE构造对角线，则AE就平分∠PAQ。如若我们可以求得直线AE的解析式，再与抛物线解析式联立，则点E的坐标就求出来了。这里求直线AE的解析式，已知点A，可以考虑再找便于求解的点，例如AE与y轴的交点，这个交点的坐标可以考虑角平分线的性质，向直线AC作垂线段，构造直角三角形，勾股定理求解，这点不难。如此本题亦得到了很好的解决，有兴趣的同学可以依照这个思路去尝试！