音律与数学·三分损益法

关于五音（宫商角徵羽）对应五行之说，中国很早就有表述，部分如下表所示。

东汉以前的典籍所记录之五音

五音又称五声，是最古之音阶，“五声”一词最早出现于《周礼·春官》：

皆文之以五声，宫商角徵羽。

而“五音”最早见于《孟子·离娄上》：

不以六律，不能正五音。

《黄帝内经·灵枢·邪客第七十一客》中将宫、商、角、徵、羽五音，与五脏相配：脾应宫，其声漫而缓；肺应商，其声促以清；肝应角，其声呼以长；心应徵，其声雄以明；肾应羽，其声沉以细，此为五脏正音。相传是根据中国最早之乐器“埙”的五种发音而得名。

而在声韵学上，宫、商、角、徵、羽，分别与喉、齿、牙、舌、唇之不同发音部位相匹配。(南朝·梁)顾野王之《玉篇》卷末附“沙门神珙四声五音九弄反纽图”以及北宋官修之《大宋重修广韵》（陈彭年、丘雍等编撰）卷末所附之“辨音五字法”，都是这种分法。前者分为喉、舌、牙、齿、唇，所谓自内向外；后者分为唇、舌、齿、牙、喉，所谓自外向内。戏曲演员准确地掌握了五音之部位，再配合“四呼”（开口呼、齐齿呼、合口呼、撮口呼）之运用，即能做到吐字准确，称为五音俱全，否则为五音不全。

显然，在乐器表达上，仅有五音是不够的，因此古人用三分损益法将一个八度音分为十二个不完全相等之半音，这就是十二律，各律从低到高依次为：黄钟、大吕、太簇、夹种、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。十二律又分为阴阳两类，凡处于奇数位之六律称阳律，处于偶数位之六律称阴律。另外，奇数各律称“律”，偶数各律称“吕”，故十二律又被称为“律吕”。《吕氏春秋·仲夏纪第五·古乐》记载：

昔黄帝令伶伦作为律。伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴，取竹于嶰溪之谷，以生空窍厚钧者，断两节间，其长三寸九分，而吹之，以为黄钟之宫，吹曰舍少。次制十二筒，以之阮隃之下，听凤皇之鸣，以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄锺之宫，适合；黄锺之宫皆可以生之。故曰：黄锺之宫，律吕之本。黄帝又命伶伦与荣将铸十二钟，以和五音，以施英韶。

比《吕氏春秋》成书较早之《管子》，由稷下学派之弟子们在公元前四世纪编纂完成。此书因管仲（约前723或前716-前645年）而取名，一则因管仲曾是齐桓公时之名臣，二则因书中收录了许多管仲时代之材料。

《管子·地员》总结了和声规律，阐述了标准调音频率，具体记载了三分损益法，但纯粹是文字性描述，用现代代数语言翻译出来，可归纳如下（公式较多，还是贴图吧）

如此，从宫音开始，可定出所有五音，中间两次乘以4/3，两次乘以2/3，为使每次乘积仍是整数，就必须要求起始选定的数能被整除。显然，能满足该要求之最小整数为81，就这是宫音起始数选为81之原因。

其实81、108、72、96、64这些数本身不具有实际意义，但其比例关系则至关重要。将其统一在一张表中，与现代音律名称配对，则一目了然，如下表所示。

五音之对应数与比例关列

可见，宫与徵之比值为3:4，其现代意义为：宫音震动频率与徵音震动频率之比值为3:4，现代音律称之为纯四度，其他类推；而16:27≈3:5表示由《管子·地员》中三分损益法所计算之比值16:27与现代定调法所规定之比值3:5稍有差异。简单计算可知

不难看出，这两个比值之相对差异本身就是非常玄妙的，它是个无限循环小数，而且从0到9按递增顺序循环。

为了对照，在此给出更完整之频率比值，如下表所示。

音程频率与最简整数比

其中基音a1的频率为440Hz，表示a1是由琴弦每秒钟振动440次时产生之音高（于1834年在德国司徒嘉特的一次国际会议上所确定）。中国古人在数千年前采用弦长之比值，西方人后来改为弦之振动频率比，两者之间除了时间上有先后外，并无本质性之差异。此外，若要徒手测量，把握弦长显然比把握弦之振动频率要容易得多。但由于现代科技发达，测量频率比测量长度更为可靠。这是因为对电子仪器而言，振动频率更容易捕捉，但弦由于无法摆脱重力作用，长度便难以测得高精度值。

后来，《吕氏春秋·音律》改进了《管子·地员》之方法，提出：

黄钟生林钟，林钟生太簇，太簇生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生益之一分以上生，三分所生去之一分以下生。

其中，“三分所生益之一分以上生”即表示加上原先之三分之一倍，即乘以三分之四；同理，“三分所生去之一分以下生”表示乘以三分之二。根据现代数学原理来解释，即以作为起始数，“三分所生益之一分以上生”产生81，得到第一律“黄钟”；依次递推，可得完整之十二律。之所以一开始采用，是为了在乘以三分之四后可得黄钟率81，如此则可以与《管子·地员》保持一致。程贞一在其著作《黄钟大吕——古代中国和十六世纪声学成就》中将这一过程画成一幅递推图，如下图所示。

《吕氏春秋·音律》改进之三分损益法

简单计算可知，起始数与终止数在经历了十二次“损益”后，仍相差不大。

约从16世纪至18世纪，欧洲音律学界最主要的研究任务之一，就是如何处理最大音差

即怎样将其均分到八度音律上。程贞一认为，中国战国时期之三分损益法不但利用了五度生律，也利用了八度生律，建立了上下（益损）之相生原理，允许生律途径之选择，操纵导生律音之八度范围。由此可保证所得音阶之各音律，最终定位在同一个八度内，成功地避免了在三分损益十二律中出现最大音差。可见，三分损益法比同时代西方人之音乐理论不但丰富得多，且非常超前。

至于在古希腊，毕达哥拉斯及其学派并没有给出生律公式，且根据古今中外某些学者之研究表明，毕达哥拉斯本人有可能是抄袭了古东方之成果并将之据为己有。柏拉图（Plato，约前427-前347年）和亚里士多德（Aristotle，前384-前322年）等一些古希腊学者，都明文记载毕达哥拉斯曾游学东方。这里的东方虽然并不是指中国，但很可能也有辗转相传之存在性。

另外，法国传教士、汉学家钱德明（J.J.M.Amiot，1718-1793年）于1776年在巴黎发表《Mémoriesur la Musique des Chinis tant anciens que modernes》（《中国古今音乐考》，该书1780年被收入Mgmoires concernant lhistoire,lessciences, les arts, les moeus, les usages, etc. des Chi-nois, par lesmissionnaires de Pekin（《北京传教士关于中国历史、科学、艺术、风俗、习惯的论文集》）第六卷。），其中记载：

I’Heptachorde des Grecs anciens, la lyre de pythagore, son inversiondes tétrachordes diatoniques, et la formation de songrand système, sont autant de larcins faits aux Chinoisdu premier ge.

译文：古希腊毕达哥拉斯竖琴之七声音阶，它由四度音列转换之完全音阶，以及其整个音阶体系，多半是从早期中国抄袭过去的。

显然，这一说法西方人难以接受，即便希腊人能接受，其他欧洲人也不会接受。因此，钱德明之论文一经发表，便遭来欧洲人之反驳甚至谩骂。

在湖北随州出土之曾侯乙墓中，陪葬的编钟、瑟等乐器，充分说明了中国在春秋战国时期以前就形成了很完备的弦乐理论。相关专家们一致认为，弦乐器从产生到形成完备之理论，至少需要三四百年之时间，这说明，中国弦乐器理论之产生时间有可能早至西周之前。而此时，毕达哥拉斯学派及其祖师爷毕达哥拉斯本人还远远没有出生。此外，一些正史、野史与小说家言都有关于周文王（在公元前11世纪）调理古琴之记载。但由于中国古代之文字系统极其发达，而古人似乎也很喜欢采用意象手法来描述一些数学思想，这就使得古代之记载文字艰深难懂，故不易被后世理解。