醍醐灌顶！原来特征根法还可以这么理解

什么是特征根法？相信很多同学应该都会听说过。不过就算没听过，也应该见过下面这个题吧？

当然

不能见过就算了

更重要的是

一定要看看高手是怎么处理的

哪怕是欣赏欣赏

也好

高手这样解答

对于这个解法，

你觉得怎么样？

又有什么想说的呢？

当然，整个解的过程对中学生来说无疑是有难度的。而且，现在高考对这种分式型递推公式求通项的难度也有所降低，考试说明也从没提过特别要求。但是对于那些学有余力的同学来说，还是完全可以在学习之余，用它来磨练一下自己的思考力的。

只是学霸们一定也很疑惑：

那个方程是个什么鬼？

这完全是从天而降啊！

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其实，用心的同学这时候一定会想起来，老师是曾经这样考过这个题的：

用心的你，会不会发现，其实老师因为害怕打击了你，而在你求通项的过程中，很贴心地给你搭个了梯子。因为这样，就可以忽略毫无理由的特征根的过程，将一个很高端的递推公式问题，直接转化成了等比数列的证明，确实让人觉得更熟悉，也更容易接受了。

所以，你是不是就很开心的这样解答了呢？

寻根究底

其实，相比上面的递推公式而言，相信很多同学应该更熟悉下面这种形式吧。

嗯，确实，这个题是最常见的分式型递推公式了，有时也会以下面这样的整式的形式出现：

虽然形式不一样，但其实通过变形后，你就会发现两者竟然是完全一样的！

如果用一个通式来表示，可以写成下面这个样子：

而这种形式的递推公式，老师是不是说过取倒数就可以了呢？

你也一定会这样求解的：

其实，在这个解题过程中，我们通过取倒数，依然是构造了一个等比数列

但其实，通过通分后，就会发现这个数列其实就是：

如果用高手的特征根法处理下：

郝然发现，虽然过程和方法不一样，但最后构造所得的等比数列却都是一样的。

只是，

一个朴素致简，

另一个，

高深莫测而已。

既然这样，这两者之间，就一定是有关系的吧。

寻根究底

其实，类似于上面的、最完整的分式型一次递推式，应该是这个样子的：

D=0时，取取倒数再裂项构造下，就可以搞定了。

但显然，D≠0时，取倒数就完全不行了。

那么，在我们现有的知识体系中，又如何更加顺理成章的解决它呢？

按照数学解题的基本思路，我们可以拷问下自己，如下的几个问题：

①D=0时，为什么取倒数就可以？

②D≠0时的情形能不能转化为D=0时的情形？如果可以，怎么转化？

其实，

这种分析问题的思维方式，

就是所谓的化归意识吧。

其实，上面的解法中，只取了方程的一个解x1=1。

但显然，对于另一个解x2=-2来说，也一定可以做类似的处理的。

那么就会出现下面的情形：

其实，上面这种思路就已经很接近特征根法了，只是在过程中所得的方程，和特征方程不一样罢了。

但这种思维，是不是更加容易让你接受呢？

所以我认为，对于中学生来说，对于任何一种方法，最重要的还是要真正理解其背后的原理，这样才能实现解法的迁移，实现一法多用、多题一解的效果。

这也就是，所谓的通性通法吧。

现学现用

至此，是可以就这种思路做一下总结的，便有了下面的解题过程，当然，现在理解了，也是可以记住这个过程的，从而成为自己的解题经验。

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特征方程的秘密

特征根方的解题思路是这样的。

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两种方法比较

其实，注意观察下两种方法所得的方程，就不难发现它们之间的异同点：两种方法构造的方程仅仅只有一次项系数不同，而且互为相反数。因此两个方程的解应该是互为相反数的。

从这个角度看，两种方法构造的数列，虽形式上一加一减，但其实是完全一样的。

显然，特征根法中特征方程的得出过程更加直接，且易于记忆。

虽然不清楚为什么会这样随便地构造了这个方程，但在肯定两种解法都成立的前提下，特征根法的思路无疑让过程更加简洁。

更重要的，是便于记忆。

大道至简，也莫过如此！

特征根法再练手

形如上例那样的递推式：

相信大家都不陌生吧，是不是都是设成这样：

再利用待定系数法求得x

呢？其实，我们也可以利用上面的特征方程法快速求得x的。

方法和结论是不是和分式型一次递推式类似呢。

特征方程无解

当然，肯定有同学会和我一样思考过一个问题：

如果方程无解了，怎么办呢？

其实，如果可以作为一条经验进行传授的话，那我的经验就是：

如果无解，

可以考虑这个数列会不会是周期数列，

毕竟，我在遇到很多这样的递推式时，都是这样思考的。

关键是，屡试不爽、从未失手！