四答汪涛先生文“论概念飘移：终于明白程碧波先生思维混乱的根源”
生民无疆 今天
以下文章来源于国计学 ，作者程碧波
汪涛先生再给我转了第四次与我“商榷”的文章《论概念飘移：终于明白程碧波先生思维混乱的根源》。此文一开始，又在给大家上课逻辑学的规律，并且将违反同一律称之为“概念漂移”过程。
汪涛先生要谈逻辑学，就更必须要研读《墨经》了，因为逻辑学三大规律来自《墨经》。《墨经.经说下》：“正名者彼此。彼此可，彼彼止于彼，此此止于此。彼此不可，彼且此也。彼此亦可，彼此止于彼此。若是而彼此也，则彼亦且此此也”。
“正名者彼此”即排中律：没有彼此之外的状态。“彼此可：彼彼止于彼，此此止于此”即同一律：同一个概念不能一会为彼，一会为此。“彼此不可，彼且此也”即矛盾律：彼和此不能并存。并且墨子指出若违反矛盾律，将逻辑系统能得到任意结论：“彼此亦可，彼此止于彼此，若是而彼此也，则彼亦且此此也”。不研读《墨经》，无以谈逻辑。
下面按照汪涛先生“论概念飘移：终于明白程碧波先生思维混乱的根源”一文的问题来逐一回答。
一、全称判断与特称判断问题
汪涛先生说：“先澄清一个程先生自己用红字体现的太过混乱的表述‘此种一一对应关系是不可数的’。因为前面设定了对应的集合是自然数，因此，只要是与自然数一一对应的关系就一定是可数的。我替程先生把他准确地含义表达出来是‘此种映射关系不是与自然数的双射关系’。”
汪涛先生篡改了我的原话。我的原话是：“如果证明者给出某种一一对应关系，发现这种对应关系在A集合与自然数之间不成立，那只能得出严格结论：‘A集合依照此种一一对应关系是不可数的’。”
显然，我的原话是说，A集合依照此种一一对应关系来数，是不可以的。而不是汪涛先生所篡改的“此种一一对应关系是不可数”，按照汪涛先生的篡改，“不可数”的主语成为“此种一一对应关系”了。更不是汪涛先生所自以为准确的表达“此种映射关系不是与自然数的双射关系”，因为康托尔并没有建立可行的映射关系，汪涛先生说“此种映射关系不是与自然数的双射关系”，其前提就是说映射关系成立，但不是双射关系。这跟康托尔的证明不符。康托尔是反证法：假设存在一一对应关系，然后依照此一一对应关系来推导，发现不成立，所以得到不可数的结论。
汪涛先生对我此话的改动，应该是汪涛先生的又一次思维漂移。我们再来看看汪涛先生还作了哪些思维漂移。
汪涛先生继续说：“在可数集的定义中，定义和指称的对象是集合中元素的特性，通过对元素特性的定义，当具有这种特性时，这个元素构成的集合就是可数集，而不是在一堆映射关系中去定义某些映射关系有什么特性。程碧波先生通过将元素的全称判断漂移到映射关系上，这就导致一个非同一律的思维过程，把它漂移成特称判断了。”
那么看看汪涛先生就此问题最开始的说法又是什么呢？汪涛先生在“如何避免变成民科？中国如何领导世界（二）如何建立以原创为主导的科技创新体制3”一文中用粗红标题字体明确写出：“错误一：程碧波先生认为只用一种方法证明实数不可数是不行的，要证明所有方法均不可数才行”，并且给出了解释。截图如下：
图一
所以汪涛先生最开始来指责我的就是证明方法的全称判断或特称判断，也即证明方法的数量是否穷尽上。我也针对此证明方法的全称与否、是否穷尽进行回答。是汪涛先生自己漂移到集合中元素的全称与否上。
现在，我就康托尔的证明方法可否穷尽、是否需要穷尽来继续回答汪涛先生的质疑。
汪涛先生说：“康托尔对角线法的证明思路就是：只要你假设它可数，它就一定不能穷尽集合中所有的元素。这已经‘穷尽了一切映射的可能性’，与具体映射函数和方式没有任何关系，也不存在程先生空想的、空洞的别的映射关系问题。这与十进制还是其他进制也没有任何关系，如果你用二进制和十六进制都是完全‘等价’的，只是具体构造数字的方法稍有差异而已。”
汪涛先生应该研读一下数学史。汪涛先生不应认为其它映射方法，除了十进制就是二进制或十六进制。西方数学抄袭中国的位值进制很晚，之前他们就是傻乎乎地一根棍子一根棍子地堆在那里来计数，数字稍微大一点他们就数不清棍子究竟有多少了，不是汪涛先生想象的十进制不行就搞二进制或十六进制。这种方法虽傻，但显然不是进制方法。还有汪涛先生本文后面应对我的挑战所列的“根号2”、“根号3”等等，都是非康托尔位值进制的数字表达方式。这些非位值进制的表达方式很多，汪涛先生得穷尽了，并且证明自己穷尽了。除了数学表达方式，还有基于这些数学表达方式的映射方式。对角线映射不行，非对角线可以不？非对角线的映射关系有哪些？穷尽没有？证明一下自己穷尽了？
汪涛先生对“不可数”的证明方法是否穷尽的不以为然，来自于其把无限问题混同于有限问题。对于有限问题的确没有这么复杂，但是无限问题不同，数字表达方式、一一映射关系不同，得到的结论就有天壤之别。在y=x的一一映射下，若y是实数全集，则x也是实数全集。在y=tg(x)的一一映射下，若y是实数全集，x却不是实数全集。都是一一映射，换个关系就有天壤之别的结论。再给汪涛先生变个魔术哈，看我怎么证明“4/33不等于4/33”。
证明如下：
4/33=0.121212...，其小数为“12”的无限循环。现在建立两列无限列向量：
图2
左边列向量与右边列向量的每行元素之间建立一一映射关系，显然每行的映射元素之间都不等。
当行数为无穷大时，左边列向量中的元素为0.121212...=4/33，右边列向量中的元素亦为0.121212...=4/33。但是任意两映射元素之间不等，所以4/33不等于4/33。
证毕。
荒谬的结论出在哪里？就出在无限问题不能简单套用有限问题的规律。康托尔构造的每一个对角线映射的两个元素都不等，在有限条件下当然可以推导出新数跟队列集合中任何元素都不等，但在无限问题下这样的结论就是轻率的。至于具体为什么，以及如何处理，看我过一阵发的论文即可。这里就不多说了。
汪涛先生继续说：“只要不是可数集，它就一定是不可数集。程先生想否定这一点的说法是‘完全可能存在集合，它的可数性’不可证明'，因而无法判定为可数还是不可数。’你要这么说就找一个这种集合出来，并且‘严格证明它的可数性不可证明’，更确切地说，是证明它即不是可数集合，又不是不可数集合。‘无法判定’这个说法是很不严格的。因为一道数学题你不会做，只是你不会做。你不能因为你不会做，就说这道题是不可能做出来的。你必须证明它是不可能做出来的。”
汪涛先生应该又忘记了全称判断通常“只能证伪”而“无法判定”的逻辑常识了。请汪涛先生判定一下“所有天鹅构成的集合中，每只天鹅都不是绿色的”这个命题对还是不对？并给大家证明一下？
二、应对程先生的一个挑战
本部分，汪涛先生应对我这个挑战：“请汪涛先生给我们演示一下实数集合如何‘不与自然数一一对应’地可数”。
汪涛先生的创举是：“实数1，1.5，1.7，圆周率，根号2，……这不是数了吗？但是这样数不能穷尽实数中所有的元素，这就是不能与自然数一一对应地可数。当然，我相信程碧波先生一定有能力把其中的某个概念漂移到其他地方进一步将这个问题跑题。”
原来汪涛先生的意思是，他写出几个数，这就算证明实数集合“不与自然数一一对应”地可数。
我先懒得去批驳汪涛先生这样干的荒谬与否。至少汪涛先生在写出几个数之前，是不是应该先给出一个“‘不与自然数一一对应’地可数”的定义呢？汪涛先生应该先给出这个“可数”的定义，然后再按照这个定义写几个数就交差，我至多在此“可数”的实质意义上和汪涛先生争论两句，但不能说汪涛先生在形式逻辑上有什么问题。但现在汪涛先生在何谓“‘不与自然数一一对应’地可数”的定义都没有给出的情况下，就写几个数摆在这里，说这就是“‘不与自然数一一对应’地可数”，逻辑学这关就过不去吧？这已经不是偷换概念的漂移，这个纯粹是无概念的裸漂。
三、无穷大与无限长的区别
汪涛先生说：“小数点后无限长的数字是有意义的数字，小数点之前无限长的数字是无意义的数字。有意义和无意义是以它们是否属于实数集合为统一标准，而不是“双标”，这里程碧波先生又引入一个概念漂移。如同晚会上能否上去唱歌，能唱到大家都喜欢，就可以上台，大家不喜欢，就不能上台。这个标准是统一的，不能说凭什么他们能上台唱歌，程碧波老师就不能上台，这不是双标吗？只要程碧波老师能证明自己唱歌大家喜欢听，就有上台的资格。这标准是统一的。很简单，程先生你来解释一下小数点之前无限长的数字是什么，它为什么属于实数集合，这个不是仅仅要去与任何东西作对。”
汪涛先生的逻辑是，小数点后无限长的数字属于实数集合，所以有意义；小数点之前无限长的数字不属于实数集合，所以无意义。那么请汪涛先生给出“小数点后无限长的数字属于实数集合，而小数点之前无限长的数字不属于实数集合”的证明。汪涛先生很喜欢讲逻辑，所以我希望他能给出其结论的逻辑证明过程。
汪涛先生显然是想把证明的球扔给我，所以说“很简单，程先生你来解释一下小数点之前无限长的数字是什么，它为什么属于实数集合”，我的答复很简单：“如果小数点后无限长的数字属于实数集合，那小数点之前无限长的数字就也属于实数集合；如果小数点后无限长的数字不属于实数集合，那小数点之前无限长的数字就也不属于实数集合，因为两者是对称的”。所以，汪涛先生如果给出“小数点后无限长的数字属于实数集合”的证明过程，那我就能给出“小数点之前无限长的数字属于实数集合”的证明过程。
汪涛先生在这里还在纠结“小数点之前无限长的数字”，实在不应该。因为我的“三答汪涛先生”文章中，明明也给出了映射“y=1/x”，此时汪涛先生所纠结的“小数点之前无限长的数字”，就被一个倒数处理，变成了“小数点后无限长的数字”，这应该就彻底满足汪涛先生偏好无穷小的心意了，按汪涛先生的逻辑应该就“属于实数集合”了吧？汪涛先生怎么对此无视呢？
汪涛先生说：“如果程碧波先生想让这个概念漂移变成一种具有科学原创意义行为的话。如果能把这个问题（小数点之前无限长的数字是什么）解释清楚，我还是很愿意与程先生讨论”。而我之前“三答汪涛先生”文章无论阐述“小数点之前无限长的数字属性”与“小数点后无限长的数字属性”在逻辑证明上的对称性，还是建立y=1/x关系将“小数点之前无限长的数字”转换为“小数点后无限长的数字”以满足汪涛先生的需求，都从未偏离过汪涛先生的质问。汪涛先生一再说“如果程碧波先生想让这个概念漂移变成一种具有科学原创意义行为”这样的话，根据何来？
汪涛先生这样的纯科学推崇者，一向反对在严谨的科学证明中大量使用类比，认为中华文化就是类比太多而无严谨逻辑所以没有科学传统。但是汪涛先生此文大量使用类比，颇出意料。当然我也理解：中华文化这样做是民科，汪涛先生这样做则是非民科。