傅里叶变换的应用Ⅳ——群速度

1 实验事实

折射率是光学中的一个重要概念。作为描述介质的一个参数，它关系着两件事，一是光线在界面上的折射角，二是光在介质中的传播速度。相应地就有两种测量介质中光速的方法。

迈克耳孙与1885年用钠黄光测定了(相对于空气)的折射率，实验结果为

二者相差高达，这绝不可能是实验误差所致。这一矛盾，直到瑞利提出“群速”的概念后才得以解决。

2 波包的群速

现实中并不存在无限长的波列，按照傅里叶变换的观点，它们都可以看成一定频带宽度单色波的叠加

注意这里我们需要的是时间频谱而非空间频谱。

在色散介质中各单色成分的传播速度是不同的。我们假定波列不太短，则其频带就不会太宽。在此范围内可以认为随的变化是线性的，则有

(4)式中的指数函数可以进行改写

代入(4)式可得

式(6)实质上还是一个傅里叶逆变换。虽然其形式与傅里叶变换相同，但我们之前就说过，傅里叶变换与逆变换间是有着高度的对称性的。

变换后我们应当得到一个以为变量的包络函数。因此(6)可以写成

这个包络的速度

被称为群速度。群速度等于波的能量的传播速度。这里我们不加证明地指出这一点，但这并不显然。群速一般不等于相速。

这正是迈克耳孙测量结果不同的原因。折射法测得的是相速，而速度法测得的是群速。这才是相差7%的真正原因。