再论函数与方程

函数与方程有千丝万缕的联系，学习时万万不可割裂开来。初中阶段对函数是从运动变化的角度给出概念的，先定义变量和常量，再分析变量间确定的对应关系，给出函数的概念：在一个运动变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都存在唯一确定的值与之对应，那么我们称x为自变量，y是x的函数。这个定义是从变量和变量间的对应关系角度来定义函数的，特别地，当自变量的值取定时，函数的值也相应取定，这就建立了等量关系。当取定x的值时我们可以通过解析式得出y的值；反之当取定y的值时我们可以得到关于x的方程，进而求解出x。从这个角度看，我们可以理解函数和方程既具有其独立性，又具有统一性，在研究相应问题时，二者可以结合起来互为佐证，帮助分析理解。下举一例，供同学们思考：

例：关于x的方程(x-3)(x-5)=m（m>0）有两个实数根α、β（α<β），则下列选项正确的是（        ）

A、3<α<β<5        B、3<α<5<β        C、α<3<β<5        D、α<3且β>5

分析：初看此题，这是一个典型的一元二次方程的根的问题，因为参数m的不确定性导致了此题的难度。若仅仅从方程的角度思考，求该方程的根，求解过程复杂，计算上容易出错，且极不容易分析。念及方程与函数的关系，我们能否从函数的角度来认识此题？答案是肯定的。从形式上看，方程的左边可以看作二次函数y=(x-3)(x-5)，而方程的解α、β就可看做函数值取m时自变量的值，在求解时我们亦可借助函数的图象来帮助理解分析，就很直观地迎刃而解了！

借助图象，当m>0时α与β的范围就很直观看出来了。

事实上，我们借助函数图象可以对这个问题做更完整的探究，同学们可以继续尝试：

探究1：当m取何值时，关于x的方程(x-3)(x-5)=m有两个实数根？有一个实数根？没有实数根？

探究2：关于x的方程(x-3)(x-5)=m有两个实数根α、β（α<β），求α、β的范围。有一个实数根γ时，求γ的范围。

变式：关于x的方程x²-8x+15-m=0（m>0）有两个实数根α、β（α<β），求α、β的范围。

相信同学们可以很快速地将上述问题解决！

下面几题供大家思考：

1、若关于x的方程|1-x|=mx有解，求实数m的取值范围。

2、已知关于x的函数y=(m+6)x²+2(m-1)x+m+1的图象与x轴有交点，求m的取值范围。

3、设关于x的方程ax²+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根m、n，且m<1<n，求a的取值范围。