巧用一元二次方程根的判别式求代数式的值

之前的一篇推文介绍了两例代数式求值问题的技巧方法，今天再举两例。

例1   设a、b、c、d都是不为零的实数，且满足(a²+b²)d²+b²+c²=2(a+c)bd，则b²-ac=

分析：本题题干条件给的极少，字母却极多，要求解代数式的值难以下手。我们回过头来再来观察所求代数式与题目所给条件，我们发现所求与条件间有差别，要求解的代数式中并不含字母d，这为我们如何思考打开了一个孔，下面是如何把这个孔变成一扇窗甚至一扇门的问题了。再观察条件，我们发现字母d的指数是有区别的，有2次、1次，还有一项不含d，这与我们熟悉的一元二次方程未知数的次数很类似。受这一点启发，我们可以把条件式看做关于d的一元二次方程(a²+b²)d²-2(a+c)bd+b²+c²=0（题目已说a、b均不为0，故而二次项系数不为0），而题目说a、b、c、d满足这个等式，也即关于d的一元二次方程的根是存在的，从而可得△≥0，由此找到只含a、b、c的关系式，同学们经过计算就可得结果了！

答案：0

例2  若实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是

分析：本题求z的最大值，所给条件却是三个字母的关系，我们想办法把字母z剖离开。易得x+y=5-z，xy=3-z(x+y)=z²-5z+3。做了如此变形之后我们发现x、y的和与积都可以与z产生关联。我们可以把x、y看做关于t的一元二次方程t²-(5-z)t+z²-5z+3=0的两根，且两根是存在的，再由△≥0可得关于z的取值范围。

答案：13/3

上述两例给我们一个很好的提示，代数式的求值和最值问题跟一元二次方程的根的判别式是可以有联系的，为我们的思考提供了更为广阔的空间。