额外的维度是如何把4种基本力统一起来的？

你曾经有过宇宙具有额外维度的想法吗？弦理论认为，宇宙有很多维度，可能是10维、11维或者26维，但是除了通常的4维、3维和1维外，所有的维度都非常小，我们无法探测到它们。

• 丘流形

大约100年前，阿尔伯特·爱因斯坦收到了一份来自一位名叫卡鲁扎的论文，这让他很兴奋。卡鲁扎做了一件非常巧妙地符合爱因斯坦看待物理学方式的事情：他展示了可以通过给宇宙增加一个额外的维度来统一引力和电磁力。

当时，爱因斯坦对统一各种力的想法非常感兴趣，尽管他不知道有两种力还没有真正被发现：弱核力和强核力。在那之前很容易的事情在后来变得很难，但这并没有阻止物理学家们去尝试。

爱因斯坦在哲学上感兴趣的是为所有的自然找到一个统一的理论。他觉得它应该存在。他还认为，既然引力是基于几何的，其他力也应该是基于几何的。

让我们来了解一下力理论和几何理论之间的区别。作为一个类比，让我们以地球为例。地球是圆的，所以当我们在地球上旅行时，我们必须走圆的路径。事实证明，当你想在地球上快速地从一个地方到达另一个地方时，你需要遵循一条叫做测地线的路径。这是地球上从一点到另一点的最短路径。测地线只是大圆的一部分，大圆是一条环绕地球的圆线，将地球切成两等份。

如果你想要沿着测地线走，在大多数情况下你不能走一个恒定的方向（除非你是在正北或正南旅行）。如果你确实遵循一个恒定的方向，你将遵循一条“恒向线”，这根本不是一条最短的路径。

下面是我找到的一张漂亮的旧地图，显示了两者的区别。这张地图是墨卡托投影，所以从吕宋岛到旧金山79度的方位线路径看起来比代表测地线的点虚线要短。这是由于投影的失真，其实点虚线更短。

• 用虚线表示从旧金山到吕宋岛北部的大圆路径或测地线的地图。到旧金山的方位线航向是79度，在这张墨卡托投影图上看起来更短，但实际上更长。(资料来源：《美国科学杂志》(1880年)，第393页)

当你沿着测地线旅行时，你的船或飞机必须进行周期性的航向修正。最重要的一点是：这些路线修正相当于重力。换句话说，在爱因斯坦的宇宙中，重力帮助我在四维空间和时间中沿着测地线走，就像舵柄帮助船在地球的二维表面上沿着测地线走一样。

我一直认为这是对爱因斯坦理论的一种非常奇怪的观察，并且在某些地方认为他的理论作为局部力理论比几何理论更好，但现在让我们坚持爱因斯坦的看法。

继续讲额外维度。假设我们在地球表面增加了一个维度？显然，我们可以飞，但这对我的航向修正意味着什么？这就是卡鲁扎解决方案的美妙之处。通过增加一个维度，他可以将一个完全不同的力”移植“到爱因斯坦的理论中，而不改变现有的理论。唯一的要求就是他必须假设在额外维度中一切都是一样的。

要真正理解这个概念，我们必须从地球表面取一个维度。想象我们是生活在一维表面上的二维生物。如果你读过《平地》，你就会明白其中的意思。

在这个环绕的行星上，你只能向左或向右走。任何方向都是一个大圆！假设我们给它增加一个新的维度。如果这个维度使地球成为一个球体，那么我们就有麻烦了，因为左右不再是一直以来的测地线。这就意味着我们必须对之前没有做过的方向进行修正所以额外的维度改变了我们的重力。

但是如果我们把这个圆的行星变成一个圆柱体呢？现在左右仍然是圆柱世界上的测地线。这意味着额外的维度不会改变重力。这就是为什么卡鲁扎的假设被称为“圆柱度”，因为对于任何几何，新的第五维并没有改变我们通常的四维时空中的测地线。

卡鲁扎是如何想到增加一个维度就能将麦克斯韦的电磁方程折叠成广义相对论的，这令人惊讶。它奏效的原因来自于我们宇宙的一个非常深刻的事实。

它与对称性有关，对称性使男人和女人美丽，也使宇宙运转。对称脸的人在镜子里看起来和在现实生活中一样，因为他们的左右脸是一样的。

• 一个(几乎)左右对称的年轻女子

任何时候，只要宇宙具有对称性，就会得到两个东西：一个守恒量和一个与之相关的力。保守意味着你不能创造或破坏它。能量和动量是两个例子，它们与时间和空间的平移对称有关。

现在我们知道，每一个力都有某种与之相关的对称性，每一个守恒量也是如此。电荷是守恒的，电磁学也是如此。这种对称是复平面上的旋转，我们也称其为相位平移。

要理解相位平移是什么，想象一个示波器上的电信号。我们可以把它们表示成复数的时间序列，它们看起来像两个相互偏移的正弦波你可以左右移动信号而不改变它们所代表的内容。这和电磁原理是一样的。

在称为群论的对称性数学中，所有的对称性都有很少的编码。电磁的称为U(1)。U表示单一的，因为相位变化不会改变波的振幅，所以变化就像乘以1。（1）只是指维度，我们是将信号乘以一个复数还是矩阵中的多个？在这种情况下，只有一个。

既然我们已经理解了电磁学的群论，那么在时空中增加一个维度是如何将U(1)对称性引入到爱因斯坦的理论中的呢？

尽管U(1)是复平面上绕单位圆一圈又一圈的复数，相位本身只是一个实数，它可以是任何数。它是度数或弧度的度量。想想看，如果我移动正弦和余弦波的相位，我可以任意左右移动它们。但是如果我移动360度的倍数，我得到一个相同的波。

这就是卡鲁扎在几何学上添加的东西，他可以随心所欲地将四维时空整体沿着“圆柱体”左右移动。当然，这需要多做一些工作，但是如果没有左右相位的对称，这是不可能成功的。

卡鲁扎和爱因斯坦在20世纪20年代向科学界展示了这项工作，而这仅仅是在爱因斯坦自己被推上世界舞台的短短几年之后。额外维度在哪里？爱因斯坦至少建立了他的关于维度的理论，没有人能说它不存在。然而，一个名叫克莱恩的人相当巧妙地解决了这个问题。他说额外的维度非常非常小，都卷起来了。

想想你妈妈或奶奶为你织的毛衣。表面上的毛衣基本上是二维的，但在放大镜下，你可以看到许多卷曲的织物。这些卷曲的毛发很小，只有当它们摩擦你的皮肤时你才会注意到它们。

同样，卡鲁扎所增加的第五维度卷曲得很小。克莱恩证明了他可以保持螺旋的圆柱度条件仍然可以得到相位平移对称。毕竟，相位变化并不关心他们是沿着一条大的线移动，还是像一个在管道里的滑板手一样一圈又一圈地移动。

几十年后，科学家发现另外两种力也具有对称性。把原子核聚集在一起的强核力具有SU（3）的对称性，这意味着它是由3 x 3个复数矩阵组成的。它也是一元的，这就是为什么它有U，但它是一种特殊的一元，这就是为什么它也有S（special）。这个特殊的类型意味着所有的元素的实行列式是1。

特殊的一元变换可以旋转，但不扭曲、拉伸或平移。U(1)只有一个电荷，而SU(3)有8个独立的电荷。

• 弱核力是放射衰变的原因

在20世纪70年代，我们还发现另一种力，在足够高的能量下导致放射性衰变的弱核力。它的对称性就是U(1)乘以弱力对称性SU(2)的电磁对称性。像SU(3)一样，SU(2)是相位旋转的空间。它的工作方式几乎是一样的，只是有3个相位，而不是8个。

那么，如果卡鲁扎和克莱因是对的，电磁力来自爱因斯坦理论中的一个额外的时空维度，电弱理论是研究电弱力和电磁力的正确方法。那么，只有在爱因斯坦的理论中，弱力也是由几何构成的才有意义。如果其他力都适用，为什么不考虑强力呢？

如果你把所有需要的自由度加起来，爱因斯坦的原始维度是4，电磁维度是1，弱力维度是3，强力维度是8，得到16。如果你把电弱力和强力的“标准模型”和它们的12维数相乘，再乘以爱因斯坦的4维度，你就会得到这样的结果。

从这里到万物理论，也就是大统一理论并不是那么容易的。你还需要以某种方式把物质放进去：夸克，电子，等等。这就是事情变得棘手的地方。另一方面，弦理论借鉴了卡鲁扎和克莱因的理论，但并没有单纯地把爱因斯坦的理论简化。

弦在空间和时间中振动，就像乐器上的弦。当它们振动时，它们会描绘出被称为“世界表”的二维几何图形。下面是一个示例。

世界表有几何学！正是几何学给了产生力和物质，而不是时空本身。它还有一种区分物质和力的绝妙方法，我将在以后的文章中讨论。

在弦理论被提出后，物理学家们确实找到了如何以爱因斯坦最初希望的方式来推导它。即便如此，弦理论还需要额外的维度，因为数学运算只能在特定的维度中进行。在所谓的超弦理论中，10维是统一力所需要的最小维度数。其他理论需要更多的维度。