欧拉成名作:无穷级数求和的大胆探索

欧拉成名作:无穷级数求和的大胆探索

原创王珂2021-05-20 22:37:49

一提到欧拉,我们就想到欧拉公式。

但事实上,早在欧拉公式之前,他就已经声名远播了。而他的成名作,也是非常开人脑洞。

1734年,欧拉用很巧妙,但当时看来不是很严谨的方法,计算出了这个无穷级数的正确结果:

那一年他27岁。

次年,欧拉将结论发表,名声大噪。因为这个问题并不是那么简单,就连前辈牛顿和莱布尼茨都没搞出来。

欧拉的思路

首先,当时人们已知:

这是sinx在x=0处的泰勒级数,或称为sinx的麦克劳林级数,这也是微分学的重要应用。

然后,当x≠0时,两边除以x,得到:

显然,当x = ±nπ(n≠0 )时,sin x = 0.

因此,x = ±nπ正好是下述方程的根:

这个方程左边是一个无穷阶多项式,换句话说就是“一元无穷次”方程。

但是,欧拉厉害了,他大胆地将有限次方程的规律应用到这里。

简单地说就是,既然x = ±nπ是它的根,那么,按道理说,它就可以分解为如下的形式:

这就好比,x²-1 = 0的根是1和-1,那么,它就可以分解为:

(x-1)(x 1)=0

事实上,随着数学的发展,后来被证明,按②式这么分解确实是可行的,但是,在当时,这么做的正确性并不显然。

好,不管怎样,总比没思路好,我们继续,将②式相邻的两项相乘,得到:

显然,③式又有无穷项,但我们可以搜出其中的所有x²项,得到:

而根据①式,方程左边的所有x²的系数是已知的,就是:

因此,这两个参数应该是相等的,得到:

提出π²,得到:

证毕。

我们发现,这个证明过程体现出了欧拉的敏锐直觉和大胆的探索,当然,这也给了我们一些启发,就是:

有些事刚开始,不要过于纠缠于细节或所谓的完美,而是先“搞起来”再说,等有了一些经历,我们再来看看,也许我们就有了不同的理解和意想不到的收获。

事实上,七年后,欧拉用了新的方法,严格地证明了这个结果。

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31 条评论
  • 很神奇哦,为什么一个自然数的倒数平方和,竟然最后的结果有π。奇怪,谁能告诉我?

    回复 ⋅ 5条回复4 
  • 有些事刚开始,不要过于纠缠于细节或所谓的完美,而是先“搞起来”再说,等有了一些经历,我们再来看看,也许我们就有了不同的理解和意想不到的收获。 I can't agree witn more

    回复 ⋅ 3条回复1 
  • 也就是一个无理数可以用多个有理数表达出来?

    回复 ⋅ 2条回复1 
  • 这个公式的物理意义和应用在哪儿?

    回复 ⋅ 2条回复0 
  • 自然数怎么和兀搞上关系?

    回复 ⋅ 1条回复1 
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