中考数学压轴题分析：面积按比例分割

【中考真题】

（2020·遂宁）如图，抛物线的图象经过，，三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点与对称轴上的点关于轴对称，直线交抛物线于点，直线交于点，若直线将的面积分为两部分，求点的坐标．
（3）为抛物线上的一动点，为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点，使、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）代入点坐标求解析式。

题（2）本题的面积分割，由于分割后的两个三角形有公共边，利用公共高高进行转化，只需使得点E为AD的三等分点即可。可以设未知数利用相似得到坐标。

题（3）是两定两定的平行四边形存在性问题。只需分类讨论，利用平移法或者中点坐标法即可得到结论。
【答案】解：（1）抛物线的图象经过，，
设抛物线解析式为：，
抛物线的图象经过点，
，
，
抛物线解析式为：；
（2），
顶点的坐标为，
抛物线的顶点与对称轴上的点关于轴对称，
点，
设直线解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
直线解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
点，
，
设点，
直线将的面积分为两部分，
或，
或，
或3，
点或；
（3）若为平行四边形的边，
以、、、为顶点的四边形为平行四边形，
，
或，
或，
点坐标为或；
若为平行四边形的对角线，
以、、、为顶点的四边形为平行四边形，
与互相平分，
，
，
点坐标为，
综上所述：当点坐标为或或时，使、、、为顶点的四边形为平行四边形．