八年级数学竞赛题解析

题目

如图，△ABC、△DAE都是等边三角形，连BD、CE，点M、N分别是BD、CE的中点，连接MN、AM、AN，请你判断△MAN的形状，并证明你的结论；

这道题比较简单，但确实是往年的八年级竞赛题，今天先分享这道题，有难度的那道题还没整理好。

解析：

有形状相同的图形绕同一端点旋转，首先要想到能构造全等，所以不难得出△BAD和△CAE全等，有全等就有对应角和对应边相等，但是别忘了，学全等三角形的时候可不仅仅就学了这些肤浅的知识点，还有全等三角形的任意对应线段也是相等的（比如对应边的高、中线、对应角平分线等等），所以结合AM、AN是中线，可以得到AM=AN，这样我们就不需要再去证明一次全等来得到它俩相等了。到此已经得到△MAN是等腰，只需要角有60°即可等边。

解答：

在△BAD和△CAE中，

AB=AC，AD=AE，

∠BAD=∠CAE=60°-∠DAC

∴△ BAD≌△ CAE（SAS）

所以AM=AN，BD=CE

由于M、N是BD和CE的中点，

所以MD=NE

（这里我们已经得到AM=AN，所以还需要夹角60°）

利用SSS证明△MAD和△NAE全等

则可得∠MAD=∠NAE

由于∠NAE+∠DAN=60°

所以∠MAD+∠DAN=60°

即∠MAN=60°

由AM=AN

所以△MAN是等边三角形；