每周一题：初中数学竞赛题-轴对称

如图，在平面直角坐标系xOy中，∠MON的两边分别是射线y=x（x≥0）与x轴正半轴，点A（6,5）、B（10,2）是∠MON内的两个定点，点P、Q分别是∠MON两边上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值是_________；

说起线段和最小值问题，首先想到是否存在轴对称关系。

那么这道题而言，刚好符合动点沿直线运动，所以首选肯定是用轴对称的方法去解决。

求线段和的最小值，八年级上册数学，轴对称这一章节刚好有学到这类题型，方法简单粗暴，将动点运动的直线当做对称轴，找到定点关于这条轴的对称点，然后用动点和对称点的连线来代替原线段。

再回过头来看这道题，有两个定点，两个对称轴，所以就要做两个对称点，

如图，我们确定了A和B分别关于OM、ON的对称点A'和B'，那么原四边形的周长就可以转化为AB+QA'+PQ+PB'，而AB是定值，

所以问题就变为了QA'+PQ+PB'的线段和最小值，

由于A'和B'也是固定点，所以就变成了从A'到B'的路程最小问题，也就是四点共线，

所以我们只需要计算出A'B'的长度，即可得到QA'+PQ+PB'的最小值，

由于A'和B'在坐标系中，所以它们的坐标我们就需要先解决掉，

A'和A关于y=x对称，所以可得A'（5,6），

B'和B关于ON对称，所以可得B'（10，-2），

则根据A'和B'坐标搞定A'B'长度，顺便再计算出AB的长度，

加起来就等于四边形ABPQ的周长最小值了。

相关数据计算就不再提供了，需要同学们自己解决。