你足够聪明到在谷歌工作吗?
下面让我们做一道有趣的硅谷面试题。
以下两种条件,你可以任选其一:
1.给你一个篮球,你只有一次机会把它投入篮筐,只要投中了,就能得到 1000美元;
2.你可以投篮三次,但必须投中两次。如果你做得到,同样可以得到 1000美元。
你选择投一次,还是投三次?
正确答案:糟糕的球手选 1,优秀的球手选 2。
该题来自《你足够聪明到在谷歌工作吗?》一书,作者给出了答案,我稍有补充。
推理过程:把一次投篮命中的概率称为 p。
在第1种条件下,你有 p的机会赢取 1000美元。如果投不中,就什么也得不到。根据期望值计算,你有望赢得 1000 × p美元。
在第2种条件下,你连续投篮三次,但必须命中两次才能得到 1000美元。你投篮命中的概率仍然为 p,投篮失手的概率则为 1- p。
这类涉及到多个“独立事件”的思考,通常要倒过来计算,即算出“不发生的概率”,然后用100%去减掉该数值,便得到发生的概率。
算概率,最简单直观的方法,是穷举,列出全部可能性,然后使用最基本的原理计算即可。
依照第2种条件,会出现 2的三次方或 8种不同的结果。
让我们把它们一一列出来,如下图:对钩意味着你命中了;空格意味着你失手了。
上表格是一种简洁清晰的概率计算方法。
我们利用图形来形象地描述两种情况下的对比,如下:
通过可视化帮我们找到临界点。
倾斜向上的直线代表第1种条件, S形曲线代表第2种条件。
如果命中的概率低于 50%,第 1种条件更好。若非如此,接受第 2种条件更好。
临界点就是50%。
你既可能是彻底的外行人( p大致为 0),也可能是 NBA选手( p接近 1)。
这符合常理。糟糕的球手肯定不可能在两种条件下都赢钱。他必须把希望寄托在走了大运、一投命中上,这种事发生一次的概率显然比发生两次的概率大得多,就如“闪电不会两次都落在你头上。因此,糟糕的球手选第一种条件更好。
对于好球手,机会越多赚得越多。
延伸思考:从两种投篮方式的对比,我想起另一个有趣的话题,假如你去赌场,最好的下注方式是什么?除了什么都不下,最好的方法是一次全押上,这可能是对付赌场的“大数定律”陷阱的唯一办法。但是,如果很多人都这么做,而且赌场也限制最大下注金额的话,大数定律依然起作用。