科学瞎想系列之一三一 电机绕组(8)
上期讲了电机绕组的基波感应电势，接下来讲电机绕组的谐波感应电势。在实际的交流电机中，绕组的感应电势波形中除了基波外，还存在着一系列高次谐波。空载感应电势中的高次谐波主要由两个方面的原因引起，一是主极磁场沿空间分布非正弦引起；二是由于定子表面开槽引起。本期先讲第一个原因引起的电势高次谐波，即主极磁场非正弦分布引起的谐波电势。
1 主极磁场的空间分布
在凸极同步电机中，通常主极磁场沿电枢表面圆周分布是一个平顶波，如图1所示，假设定子表面光滑不开槽，则把这个平顶波做傅立叶分解就会得到基波和一系列谐波，由于每个磁极都是相对于其中心线对称的，而且N极和S极又是相对于其分割线上下反向对称的，因此主极磁场所包含的高次谐波只有奇次谐波，即只有υ=1、3、5、7…次谐波。
说到这儿，经常有BOSS问一个问题，为什么只有奇次谐波？为什么没有偶次谐波？先给这些BOSS们恶补一个数学知识。根据高等数学知识，任意一个满足一定条件的周期函数都可以分解成一系列不同频率的正弦函数和余弦函数之和，这就是传说中的傅立叶分解。某些特定函数的傅立叶分解具有一些特定的规律，其中奇谐函数和偶谐函数的傅立叶分解就有着鲜明的特色。先说奇谐函数和偶谐函数的概念，注意是奇谐函数、偶谐函数，不是奇函数、偶函数！
所谓奇谐函数是指：若周期函数的图像沿横轴(自变量)平移半个周期后与原图像相对于横轴像对称，即满足：
f(x)=-f(x+T/2) ⑴
其中T为函数的周期，则称该函数为奇谐函数或半波对称函数。
所谓偶谐函数是指：若周期函数的图像沿横轴平移半个周期后与原函数波形完全重合，即满足：
f(x)=f(x+T/2) ⑵
则称该函数为偶谐函数或半周期重叠函数。
奇谐函数的傅立叶分解展开式中只含有正弦和余弦项的奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量；偶谐函数的傅立叶分解展开式中只含有正弦和余弦项的偶次谐波分量，而不含有奇次谐波分量。除了奇谐函数和偶谐函数外，还有既不是奇谐函数也不是偶谐函数的周期函数(不满足上述奇谐函数和偶谐函数定义的周期函数)，它们的傅立叶分解展开式中则既含有正弦和余弦项的奇次谐波分量，也含有偶次谐波分量。
关于上述结论的证明，可以用傅立叶分解中各次谐波项系数的计算公式来证明，考虑到我们这里主要不是讲高等数学的地方，就不详细推导证明了，这里只给大家通俗地讲一下其中的道理，以便大家理解。从图1中的奇次谐波(1,3,5,7…次谐波)的波形不难看出，所有奇次谐波的波形沿横轴平移半个周期后都与原波形相对横轴像对称，即奇次谐波函数都是奇谐函数；同理，你可以自己画一下偶次谐波函数的图像，可以发现偶次谐波都是偶谐函数。如果只有奇谐函数相加，得到的和也必然是奇谐函数；只有偶谐函数相加，得到的和则必然是偶谐函数。如果奇谐函数和偶谐函数混合相加得到的和，必然就既不是奇谐函数也不是偶谐函数。因此奇谐函数的傅立叶分解必然只包括奇次谐波；偶谐函数的傅立叶分解则只包括偶次谐波。对于电机中的主极磁场分布，由于N、S极分布对称，且磁场方向相反，显然属于奇谐函数，因此主极磁场里只包括奇次谐波。如果每个磁极又是相对于自己的磁极中心线左右对称，那么所含有的奇次谐波的初相角也都是一样的，即各次谐波的波形都是从基波的初相角位置开始，如图1所示。
恶补完数学知识，我们接着讲主极磁场的高次谐波。如前所述，主极磁场包含着一系列空间奇次谐波，当主极旋转时，主极磁场的基波和这一系列奇次谐波都随主极一起旋转，因此所有谐波磁场的转速都与基波磁场转速相同，都等于同步转速n1。由图1可见，υ次谐波磁场的极对数为基波的υ倍，而极距则为基波的1/υ，即高次谐波磁场具有以下特点：
nυ=n1
pυ=υ·p ⑶
τυ=τ/υ
2 绕组中感应电势的高次谐波
和基波一样，上述主极磁场的空间高次谐波以同步转速旋转时，同样会在定子绕组中感应出频率为fυ的谐波电势，特别要注意！感应电势的谐波是时间谐波！！！谐波电势的计算方法与基波类似。电势高次谐波的频率：
fυ=pυ·n1/60
=υ·p·n1/60
=υ·f1 ⑷
谐波电势的有效值也参照那个著名的4.44公式计算，即：
Eφυ=4.44·fυ·Kdpυ·W·Φυ ⑸
式中：Φυ为υ次谐波的磁通。
Φυ=(2/π)·Bυ·τυ·l ⑹
Kdpυ为υ次谐波的绕组系数。
对于υ次谐波，分布线圈之间相距的空间电角度为υ·α，它们所感应的电势在时间上也相差υ·α电角度；而短距线圈的两个线圈边对基波的距离是Y1，对υ次谐波的距离则是υ·Y1，所以分别用υ·α和υ·Y1代替基波短距系数和分布系数公式中的α和Y1，即可得到υ次谐波的短距系数和分布系数，即：
Kdpυ=Kdυ·Kpυ
Kpυ=sin[υ·(Y1/τ)·90º] ⑺
Kdυ=[sin(υ·q·α/2)]
/[q·sin(υ·α/2)]
3 定子开槽对感应电势的影响
上述分析是在假设定子表面光滑不开槽的情况下推导出的结论，实际电机中定子绕组通常是嵌放在定子槽里的，由于定子槽口的影响，使得单位面积下的气隙磁导变得不均匀，对应于齿的位置气隙较小，单位面积下磁导较大；对应于槽的位置气隙较大，单位面积下磁导较小。正是这种齿槽引起的气隙磁导周期变化，使得原来的磁密分布发生了畸变，如图2所示。图2a为呈正弦分布的旋转磁势，图2b为开槽后由于齿槽的“调制”作用，使得气隙磁场发生了畸变，其磁密波变成一个在正弦基波基础上叠加了一个齿磁导谐波磁场。这种畸变后的磁场会对在绕组中的感应电势产生什么影响呢？
关于定子开槽对绕组感应电势的影响分析起来非常复杂，特别是定量计算会涉及到繁杂的数学推导，我知道一提数学许多BOSS们头就大，不要紧，我们先说出定子开槽对感应电势影响的结论，关于后面的数学推导、证明之类的内容，有兴趣的你就认真看，嫌头大的你可以忽略后面的推导证明部分，重要的是你要记住以下结论！
重要结论！！！定子开槽对感应电势的影响就是“种瓜得瓜种豆得豆”！定子开槽虽然使气隙磁场波形发生了畸变，但它对绕组中感应电势的影响，只是影响基波和谐波感应电势的幅值大小，不影响谐波的频率(次数)！也就是说，无论开槽与否，绕组中电势的谐波次数与气隙磁势中的谐波次数都是一一对应的。在原来不开槽的情况下，气隙磁势中存在什么次数的谐波磁场，绕组中就会产生什么次数的谐波电势；气隙磁势中不存在的谐波，绕组中也不会产生相应次数的谐波电势。开槽后，同样是不开槽时有什么次数的谐波磁势，开槽后仍然只产生什么次数的谐波电势；不开槽时没有的磁势谐波次数，开槽后照样没有该次谐波电势。因此磁势的谐波就像是一种“遗传基因”，不会因为定子开槽而改变这种“遗传基因”，使感应到绕组电势中的谐波次数增加或减少，定子开槽只是影响谐波的大小，不会影响谐波的次数。因此我们把这个结论形象地称作“种瓜得瓜种豆得豆”！
接下来我们就证明一下这个结论，对于数学基础不好或不愿意就此深入探讨的BOSS们可以跳过这一段，只记住上述结论即可。
我们知道，气隙磁场是励磁磁势作用在气隙磁导上的结果。在同步电机中，转子励磁电流产生的磁势波，可分解为一个极对数为p的基波和一系列高次谐波。所有这些谐波磁势都同时随转子以同步电机转速n1旋转。对于任一旋转磁势波产生的磁场：
Bυ=fυ·λδ ⑻
式中：fυ为υ次磁势波，其转速为n1，则：
fυ=Fυ·sin(υ·ωt-υpα) ⑼
式⑻中：λδ为单位面积下的气隙磁导。由于定子槽均匀分布于整个气隙圆周，因此开槽后单位面积下的气隙磁导沿气隙圆周呈周期波动，这个周期变化的磁导波可以分解为原先不开槽时的气隙磁导λ0和一系列与定子齿槽对应高次磁导谐波，如图3所示。
单位面积下气隙磁导表达式可写成如下形式：
λδ=λ0+λ1·cos(Z·α)+λ2·cos(2Z·α)+λ3·cos(3Z·α)+…
=λ0+∑λk·cos(k·Z·α) ⑽
式中：k=1、2、3…
将⑼、⑽两式代入⑻式，得：
Bυ=fυ·λδ
=Fυ·sin(υωt-υpα)·[λ0+∑λk·cos(k·Z·α)]
=Bυ0·sin(υωt-υpα)+∑Bυk·sin[υωt-(k·Z+υ·p)α)]+∑Bυk·sin[υωt+(k·Z-υ·p)α)] (11)
式中：
Bυ0=Fυ·λ0 (12)
Bυk=(1/2)·Fυ·λk (13)
由(11)式可见，任意一个υ次谐波磁势都会在气隙中产生三种谐波磁场：
① 基本谐波磁场
其表达式为(11)式中的第一项，是一个极对数和转速与产生它的谐波磁势一样的磁场，该磁场在定子绕组中感应出的电势频率为υ·p·n1/60=υf1。
② 极对数为k·Z+υ·p的齿磁导波磁场
其表达式为(11)式中的第二项的和式，是一系列顺转(与基本谐波磁场同转向)的谐波旋转磁场，其极对数为k·Z+υ·p，即谐波次数为k·Z/p+υ，转速为n1·υ·p/(k·Z+υ·p)，该磁场在定子绕组中感应出的电势频率为{υ·p·n1/[60·(k·Z+υ·p)]}·(k·Z+υ·p)=υ·f1。
③ 极对数为k·Z+υ·p的齿磁导波磁场
其表达式为(11)式中的第三项的和式，是一系列旋转谐波磁场，其极对数为k·Z-υ·p，即谐波次数为k·Z/p-υ，转速为n1·υ·p/(k·Z-υ·p)，其转向为：当k·Z＞υ·p时为反转；当k·Z＜υ·p时为顺转。该磁场在定子绕组中感应出的电势频率为{υ·p·n1/[60·(k·Z-υ·p)]}·(k·Z-υ·p)=υ·f1。
以上分析表明，υ次谐波磁势所产生的所有谐波磁场，虽然受齿磁导波调制而表现出的极对数各不相同，转速和转向也各式各样，但却都在定子绕组中感应出相同频率υ·f1的谐波电势。这说明电势中的谐波和磁势中的谐波是一一对应的，υ次谐波磁势只产生υ次谐波电势。磁势中存在什么谐波，电势中就随之产生同样次数的谐波，磁势中没有的谐波，电势中是不会出现的。大家在仿真时经常会看到气隙磁密的波形非常难看，存在许多豁豁牙牙的齿谐波，但反电势波形却很漂亮，那些豁豁牙牙的谐波都不见了，反电势波形很正弦，其道理就在于此，以后BOSS们遇到这种情况不必纠结，气隙磁密波形“难看”，不一定意味着反电势波形不好。综上所述，我们就从理论上证明了“种瓜得瓜种豆得豆”的结论。
上述推导当υ=1时，便得到基波磁势在气隙中产生的磁场：除基波磁场外，还包括一系列齿磁导谐波磁场，它们的极对数为k·Z±p，次数为k·Z/p±1，转速为n1·p/(k·Z±p)，定子绕组中感应出的电势频率为{p·n1/[60·(k·Z±p)]}·(k·Z±p)=f1，即基波磁势只感应出基波电势。这就意味着，只要励磁磁势正弦，则定子开槽是不会引起反电势的高次谐波，这也给我们在电磁设计时提供了一个理论指导，那就是：优化反电势的波形为正弦的一个重要途径，是优化励磁磁势的波形，只要在定子不开槽时气隙磁场波形正弦，那么无论定子开槽与否，反电势波形都会是正弦的。具体的优化措施包括：极靴形状、励磁绕组分布、磁钢的形状及充磁方法等等。
如前所述，定子开槽只是影响电势各次谐波的幅值，而不影响电势谐波的次数。那么定子开槽对电势各次谐波幅值的影响如何计算呢？也就是说定子开槽后各次谐波电势幅值该如何计算呢？可以用前面讲的⑸、⑹式来计算，但⑸、⑹式中其它各参数均可以很容易地得到，唯有各次Bυ的计算比较复杂，可以用(12)、(13)式计算，但问题又来了，(12)、(13)式中的Fυ与开槽无关，开槽只是影响了各次齿磁导λ0和λk，因此开槽后对各次谐波电势幅值的影响，其实就是开槽对各次齿磁导谐波产生了影响，进而影响了谐波电势的幅值，开槽后各次谐波电势的计算，归根结底是开槽后各次齿磁导谐波(λ0、λ1、λ2、λ3…)的计算。关于各次齿磁导谐波的计算，解析法通常用一些经验公式和经验曲线来近似等效计算，比如：对于气隙平均磁导λ0的影响，通常是在不开槽时的气隙长度δ基础上乘以一个大于1的卡氏系数Kδ，即用Kδ·δ作为开槽后的等效气隙长度来计算开槽后的平均磁导λ0，卡氏系数的大小与槽口、气隙尺寸等因素有关，可以用一些经验公式和经验曲线获得，也就是说，开槽对气隙平均磁导的影响，可以看作是开槽导致了气隙长度的增加效应来近似等效。其它各次齿磁导谐波也有各自不同的近似等效方法。虽然解析法可以用一些经验公式和经验曲线来近似等效计算各次齿磁导谐波，但计算起来仍然非常复杂，而且由于计算过程中采用了大量的假设和经验公式和经验曲线，使得计算精度受到一定的影响，在计算机仿真计算不太发达的过去，只能采用这些方法计算各次齿磁导谐波和各次电势谐波。随着计算机仿真计算的广泛普及，各种专业的有限元仿真软件功能已非常强大，因此本文就不再详细介绍电势谐波的解析计算方法了，建议实践中采用先进的有限元仿真计算方法计算反电势的各次谐波。
综上所述，空载感应电势中的高次谐波主要由两个方面的原因引起，一是主极磁场沿空间分布非正弦；二是定子开槽影响。本期只讲了第一个原因引起的电势高次谐波。下期我们重点讲定子开槽引起的齿谐波电势，敬请期待！