古代匠人的绝妙智慧，样式雷传下来的古建六角、五角营造秘诀
哲匠之家今天的推文，将从历史记载的史料入手，向大家揭开正六边形、正五边形，在没有绘图软件高等数学的古代，看匠人展现的精准美学。
六边形口诀
比起正五边形，中国古代建筑家对于正六边形的认识更加透彻。这其实源于正六边形自身的简明比例关系。表面来看，营造六角建筑似乎少了挑战；但如果真正细心关切六角之内的结构交接，还是有很多学问的。
口诀一 …《定六角歌》
六角龙上走，二面倍作有，若按平中取，勾股将股剖，平口半是股，三角作弦瓦，求得股总数，将来分半绺，归了又折半，五七八自有，又捷法用五八因之。
问
口诀是什么意思？
口诀来自清代样式雷档案中的几何算法抄本上
在中国国家图书馆收藏的清代样式雷档案中的几何算法抄本上，记载着正多边形的口诀。其中关于正六边形的有两条，一条是已知面至面的距离为1，求得每面约为0.578，精度略低，实际值为 ，更接近0.577；另一条则是已知每面边长，求六边形内其他关系，精确程度更高。
口诀二…《六角》
每面求角至角用二扣。每面求面对面用一七三二扣。每面求面至中用八六六扣。
问
口诀是什么意思？
口诀来自清代样式雷档案中的几何算法抄本上
口诀中明确表达出正六边形各对角线的长度是各边长的2倍。
六角案例
1
应县木塔
实际工程中
到了实际工程中，按照第一条口诀的比例关系计算对边间距后直接放线不是最好的办法。这里接近千分之一的误差，总会给梁架施工造成些微影响——
问
比如应县木塔
应县木塔（平面八边形）那样的大塔，面至面距离达到10丈，每面实际面阔大致是5丈7尺7寸3分5，按照0.578的比例每面就是5丈7尺8寸，误差超过半寸。
如果参照第二条口诀，则能够推导出最合理、最简单的几何放线方法：
1.确定亭子中心点位置，放出建筑中线；
2. 在中心左右两侧距离中线面阔尺寸之半处放两条平行线，用来确定建筑前后檐面阔尺寸；
3.以亭子中心点为圆心、面阔为半径画圆；
4.以圆与两条平行线的交点为前后檐的四个柱子的中心点；
5.以过圆心与前后檐平行的直线与圆的交点为六角形平面的另两个柱子的中心点。
6.如果立柱都设计成向内倾斜的姿态，那么要相应地加上侧脚的余量，就是建筑的地盘尺寸了。虽说这种推测并不见得一定就是古人用来画定六角形建筑地盘的方法，但是综合两条口诀中所反映出来的匠人对于正六边形的理解，他们找到这种办法绝对不是什么难事。
2
六边形井亭
北京太庙“井亭”、北京先农坛“井亭”
北京太庙井亭
北京先农坛井亭
北京太庙井亭内景
北京先农坛井亭内景
问
井亭开口的原因？
井亭开口的原因一直众说纷纭，什么沟通阴阳啦，什么日光消毒啦，什么补充雨水啦……不过我倒愿意相信这样的说法——开口的目的有其朴素实用功能的一面，是为了使用长杆清淘水井时留出足够空间。在木结构屋架中央留出一个开口要远比猜想开口的原因具有智慧上的挑战。井亭平面形式越是复杂，设计和建造这个有洞的木屋架就越是困难。以先农坛井亭为例，因为整个结构是露明的——专业的叫法是“彻上明造”，结构就须做得漂亮，所以井口不仅要呼应亭子平面形状，还要与各面长了尾巴的“溜金斗栱”后尾结合得天衣无缝。
北京先农坛井亭开口结构设计示意图
问
井亭的比例尺寸，运用的哪条口诀？
井亭每面9尺6寸，斗栱间距3尺2寸。考察倾斜设置的斗栱后尾，按照转角两侧二组平身科后尾中线交点计算，实测证明总举高也是3尺2寸，加上平面关系决定了平身科前后控制轴线间距离的水平投影必然是3尺2寸的√3倍，那么斗栱后尾的真长正好以6尺4寸为基本设计尺度。于是，这里的各主要边长、真长几乎都将√3的比例关系累积相乘，归并回整，仅仅在角梁真长设计值一处使用了比例关系，约计7.155尺。
北京先农坛井亭结构俯视（左）
北京先农坛井亭结构俯视（右）
如此漂亮的结构设计思路，可以与西方17世纪“新柏拉图主义”崇尚几何与神学相结合的建筑相媲美。
意大利都灵圣裹尸布教堂
如意大利建筑师兼数学家瓜里尼，他设计的都灵圣裹尸布教堂（Chapel of the SS. Sindore，Turin）就是基于正三角形和正六边形体系的集中式建筑杰作。15世纪的井亭虽小，却和遥远的欧洲17世纪启蒙运动曙光中的建筑创作暗暗应和着，一边是梓人工匠；另一边则是翩翩学者。
正五边形
了解了正六边形，我们来看正五边形。对正五边形，东西两个世界真各自对正五边形的几何学认识是不同的，确切地说，至明末，中国自身的算学领域未见正五边形的精确答案。不过，以此形为平面的建筑是有的，五角装饰纹样更是有的。
他们是怎么做的呢？又是怎样的五边形口诀？
口诀一…
五角，每面求角至面中用一五四五扣，每面求角至中用八五三五扣，每面求面至中用六九一五扣，每面求三角至三角用一六二五扣”，是已知边长求算其他关系的比率。
问
口诀来自于哪里？
口诀来自清代样式雷档案中的几何算法
样式雷歌诀五角算法示意图
口诀二 …
斜有每面正宽若干用一二三五因，搭斜角用一空三三因”，分别是有了五边形外接圆求算内切圆的倒数比率，以及再求与该五边形“搭角相交”的内切圆中内接正五边形边长的倒数比率。
口诀来自清代样式雷档案中的几何算法抄本上
样式雷歌诀五角内接正无边形算法示意图
问
真正的五边形算法
真正的正五边形算法还是在西方。算法诞生在古希腊，文艺复兴时期意大利的塞利奥在他的名著《建筑学第二书》中把它灌输给了更多的建筑师。
塞利奥记录的尺规绘制正五边形方法示意图
画法背后的证明更算得上巧妙。只列举一种简单的证法。要从正十边形倒过来说，有了十边的，画五边就只是举手之劳。
正五边形边长算法示意图
1.正五边形边长算法示意图正十边形可以图形中心为顶、各面为底划分成10个等腰三角形；
2.每个等腰三角形顶角36°，二底角72°；
3.平分一底角，在三角形中得到a、b、c三条线段，其中a长即为正十边形外接圆半径1，且a＝b＋c；4.按照相似三角形的比例关系得到a∶b＝b∶c，为黄金分割比例，用一元二次方程就可解得。
5.有了b、c，五边形边长之半d即可用勾股弦法求得。不厌其烦地唠叨中学往事，无非是要引出两则中国古代没有的东西：一个是圆周360°；另一个是完全数学意义上的黄金分割。说起源自古希腊的360°圆周传入中国。
第一次的昙花一现大致是唐朝，是瞿昙氏一家从印度带来的，后来由于历法之争未果，其算法遂趋衰微。第二次就一下子等了快900年，到了明末。中国古人用的是一周356.25°，究其目的是便于做天文观察——每天转一度，天天年年地转下去，其方便好用不言自明。何必要改成360°呢？说到底还是因为360°能带来简便的几何关系，便于精确划分——虽然清代数学家梅文鼎说“几何即勾股”，但是有了45°对应等边直角三角形、60°对应等边三角形、36°对应黄金分割三角形，我们便多了不少直观明确的认识。
黄金分割也是明末随着《几何原本》来到中国的。当时徐光启称为“理分中末线”。完全可以运用勾股定理求出与相关的黄金分割点，进而得出十分或五分圆周的方法。
少了这两种武器，在求解正五边形领域，中国古人显然是不幸运的。
五边形运用
1
《园冶》中的梅花亭
计成《园冶》中的“梅花亭”地图式
在中国的一些五边形的建筑，主要都集中在园林里。明末崇祯年间，比维尼奥拉晚些而比瓜里尼要早，又与利马窦、徐光启传布西洋科学大致同时，计成在游历南北、创作园林之后，着手撰写《园冶》时，专门讲到“梅花亭地图式”（如上图），还有装修中的“梅花开式”、“梅花式”、“圆镜式”等一系列五边形式样。或者计成从来没读过徐光启的数学著作，或者他早有从匠人那里学来的制作正五边形的诀窍，或者他根本就不关心这些基本技法，在《园冶》一书中，对这些图案的绘制方法一句未提。
2
北京紫禁城乾隆花园碧螺亭-梅花亭
北京紫禁城乾隆花园碧螺亭外景
北京紫禁城乾隆花园中的碧螺亭也是一座“梅花亭”。平面是五瓣，重檐屋顶的两层椽飞、瓦面也随之五瓣，用微妙的弧线作轮廓。在大木结构中，额枋同样被处理成花瓣弧线，向外凸出，而梁架内部无须露明的部分则按照正五边形来设计加工。想必乾隆皇帝所关心的是梅花式样，轮到怎么做出正五边形的骨骼，还是匠人的工作。
北京紫禁城乾隆花园碧螺亭实测图
如果说社会地位和教育背景极大程度上妨碍了中国古代匠人对精确算学的驾驭，但是丝毫不会妨碍他们智慧的翱翔。
来源：刘畅《雕虫故事：清华大学古典建筑法式制度课堂闲谈》