【初二数学】 勾股定理与折叠旋转、等式证明特辑

一、勾股定理与方程

1、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____________米。

2、铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B（如图），已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E

（1）若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站________km处；

（2）若C、D两村到E站的距离之和最短，则最短距离之和为________km；

二、勾股定理与折叠、动点

3、如图，矩形纸片ABCD的边AB=6cm，BC=10cm，E为AB上一点，将矩形纸片沿CE折叠，点B恰好落在AD边上的点F处，求BE的长.

4、在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）如图①，将矩形纸片沿AN折叠，当点A、E、C共线时，求BN的长；
（2）如图②，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，求BM的长；

【提示】

（1）根据翻折求出EC的长；再设BN=EN=x，NC=8-x，在Rt△NEC中建立方程.

（2）根据AG=GE证得△AMG≌△EFG，得到AM=EF，AG+GF=MG+GE，即AF+ME，设BM=ME=AF=x，FD=8-x，AM=EF=6-x，CF=2+x，在Rt△DFC中建立方程.

5、如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B’处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B’F的长为___________．

6、一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝     米时，以DC、AE、BC三条线段组成的三角形为直角三角形.

7、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

三、勾股定理与平方式证明

7.(补充题）

这两个题事实上是两个结论：①点P到矩形四个顶点的距离之间的数量关系，第（4）问是此结论的应用，值得反复琢磨.②平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和.本题视频讲解如下：