Dandelin双球系列二：平面与圆锥面的截面

这个问题小编在2016年8月17号公众号文章里发表过，今天再进一步研究研究，和大家分享一下。

我们知道用一个不垂直于圆锥轴的平面去截圆锥面，改变平面的位置，我们可以得到不同的曲线。

对于这个问题分析，我之前有过介绍，可以借助于平面图形来研究。

进而将相交直线拓广为圆锥面，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个圆锥面，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：

进而得到结论：

接下来我们利用Dandelin双球依次证明。

即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的夹角的余弦值与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比。

即抛物线的离心率等于截面和圆锥的轴的夹角的余弦值与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比。

也可以借助于第二定义证明：

即双曲线的离心率等于截面和圆锥的轴的夹角的余弦值与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比。

综上，我们得到统一结论：

截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比。

我们接着看一道题：

当点光源引发的一束光线向一只球投射时，光线经球后被遮挡住的空间区域是一个圆锥，此时，便可以把地面看作一个平面与圆锥面的截面。于是，这就转化为上面的截面截圆锥面问题。

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