《四元玉鑑》“鎖套吞容” 之水侵方圓田問

《四元玉鑑》“鎖套吞容” 之水侵方圓田問

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門，所選用之二問主要涉及勾股定理之應用，問題較簡易。所謂“鎖套吞容”乃指一幾何圖形中含另一幾何圖形所衍生之數學問題。

關鍵詞：圓田、方田、弧矢、弧弦

本文之問取自《四元玉鑑》之“鎖套吞容”門。 所謂“鎖套吞容”乃指一幾何圖形中含另一幾何圖形所衍生之數學問題，本文二問主要涉及勾股定理之應用，問題較簡易。第二“圓田一段”之問條件不足，今補上。

“鎖套吞容”共十九問，以下為該門其中二問。

(1)

今有方田一段，西北隅被水侵佔之，餘積七千一百一十二步半。只云東南隅斜至水楞一百八步半，問田方及水長各幾何？

答曰：田方八十五步，水長二十一步。

術曰：立天元一為田方面，如積求之得一萬九千一百二十五為正實，三百一十為益方，一為正隅，平方開之。所得，七之，五而一，為田斜。內減云數，餘為池斜。倍之，即水長，合問。

解：

若一正方形之一邊長為 1，則其對角線為 1.4，或

，本題以此近似值算之，若不以此近似值算，則不能得方程式。

以下為水侵方田圖：

今設方田一邊長 x 步，FE = y 步為水侵之長，即水長。ΔEFC 為水侵之面積，是一等腰直角三角形。C 點是為西北隅即西北角。“水楞”，水之邊曰“水楞”。

即已知AG = 108

步，FE是為水長 y 步，GC =

FE =

y步，若 AB 為 x 步，則其對角線AC 之長為

x步。

ΔEFC=

(

y)²，方田面積減去ΔEFC 是為餘積。

據題意可列出以下之方程式：

y + 108

=

x----------------------------------------- (1)

x² –

(

y)² =7112

-----------------------------------(2)

從 (1) 可得 y + 217 =

x，y =

x – 217 -------- (3)

從 (2) 可得 x² –

y² =

以 (3) 式代入得 x² –

(

x – 217)²=

x² –

(

x² –

x + 47089) =

x² – 2x² + 310x– 12012

=

– x²+ 310x – 19125 = 0

x² – 310x + 19125 = 0--------------------------------- (4)

以上即《四元玉鑑》所云：

得一萬九千一百二十五為正實，三百一十為益方，一為正隅。

以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。

分解 (4) 之因式得 (x – 85)( x – 225) = 0

故 x = 85，225 不合。

以下為本題之傳統開方法：

先設 (4) 之左方為  f(x) = x² – 310x + 19125，

以 x = 10、100 代入得：

f(10) = 100 – 3100 + 19125 = 16125，

f(100) = 10000 – 31000 + 19125 = –1875，

因 f(10)與 f(100) 變號，故 10 與 100 之間有一根。今收窄其範圍

以 x = 20、30、…、80 及 90 代入得：

f(80) = 6400 –310 × 80 + 19125 = 725，

f(90) = 8100 –310 × 90 + 19125 = – 675，

因f(80) 與 f(90) 變號，故 80 與 90 之間有一根。

今取根之十位數為 8。又設  x = 80 + x₁ ，其中  0 <x₁ < 10。故式 (4) 可寫成：

(80+ x₁)² – 310(80 + x₁) + 19125 = 0

左方為f(x ₁) = (80 + x₁)² – 310(80 + x₁) + 19125

=(x₁² + 160x₁+ 6400) – 310(80 + x₁) + 19125

=x₁² + 160x₁+ 6400 – 24800 – 310 x₁ + 19125

=x₁² – 150 x₁ + 725。

今以 x₁ = 5﹝取725 之因子﹞代入可知：

f(5) = 25 – 750 + 725 = 0。

故x₁ = 5 為方程式 x₁² – 150 x₁ + 725 = 0 之解，

所以 x = 80 + x₁ = 80 + 5 = 85。

正方形對角線 AC = 85 ×

= 119，GC = 119 – AG= 119 – 108

=10

，對角線 AC 之長即“田斜”，即“術”所云：“所得，七之，五而一，為田斜。”“七之，五而一”指以 7乘及以 5 除。

“內減云數，餘為池斜”即 119 – 108

= 10

。“云數”指題內所云之數，即108

。“池斜”即指GC。

“倍之，即水長”指水長 FE 即 y，而 y = 2GC = 2 ×10

= 21。

以上之單位為步，略去。

答：田方 85 步，水長 21 步。

(2)

今有圓田一段，被水侵入二弧。其大弧弦長二十四步，小弧弦長一十八步。問：大、小二弧矢各幾何？

答曰：大弧矢六步，小弧矢三步。

術曰：立天元一為大弧矢，如積求之得一百四十四為益實，三十為從方，一為益隅，平方開之，得大弧矢。

又立天元一為小弧矢，如積求之得八十一為正實，三十為益方，一為正隅，平方開之，得小弧矢，合問。

解：

本題分成兩部分。已知條件不足，疑遺漏條件圓徑 30 步，即半徑為 15 步，今補上。

ABC 為大弓形，FED 為小弓形。此二弓形乃受水浸之處。“弓形”古稱之為“弧田”。

AC 為大弧弦，長 24 步；FD 為小弧弦，長 18 步；BM 為大弧矢，NE 為小弧矢；O 為圓心，r 為半徑。

弧弦與弧矢之定義見下圖。以下為水侵圓田圖：

設大弧矢為 BM 為 x 步，圓半徑為 r，在 ΔOAM 中，依勾股定理
 OA² – OM² = AM²，即：

r² – (r – x)² = 12²

r² – r² – x²+ 2xr = 144

– x²+ 2xr – 144 = 0

若 r = 15，得 – x²+ 30x – 144 = 0 ------------------------------------- (1)

以上即《四元玉鑑》所云：

得一百四十四為益實，三十為從方，一為益隅。

以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。

分解 (1) 之因式得 (–x + 6)( x – 24) = 0

故 x = 6 或 24，24 不合。

以下為本題之傳統開方法：

先設 (1) 之左方為  f(x) = – x² + 30x –144，

以 x = 0、10 代入得：

f(0) = – 144，

f(10) = – 100+ 300 – 144 = 56，

因 f(0)與 f(10) 變號，故 0 與 10 之間有一根。今收窄其範圍

以 x = 2、4 、6﹝取 144 之因子﹞代入得：

f(6) = – 36 + 180– 144 = 0，

故x = 6 為方程式 – x²+ 30x – 144 = 0 之解，

所以 x = 6。

設小弧矢為 EN 為 y ，在 ΔOFN 中，同理可知OF² – ON² = FN²，即：，

r² – (r – y)² = 9²

r² – r² – y²+ 2yr = 81

– y²+ 2yr – 81 = 0

– y²+ 30y – 81 = 0

y² – 30y + 81 = 0------------------------------------- (2)

以上即《四元玉鑑》所云：

得八十一為正實，三十為益方，一為正隅。

以“益”為負，以“從”為正。“平方開之”即解一元二次方程式。

分解 (1) 之因式得 (y – 3)( y – 27) = 0

故 y = 3 或 27，27 不合。

以下為本題之傳統開方法：

先設 (2) 之左方為  f(y) = y² – 30y + 81，

以 y = 0、10 代入得：

f(0) = 81，

f(10) = 100 – 300 + 81 = – 119，

因 f(0)與 f(10) 變號，故 0 與 10 之間有一根。今收窄其範圍

以 y = 1、3﹝取 81 之因子﹞代入得：

f(3) = 9 – 90 + 81 = 0，

故y = 3 為方程式 y² – 30y + 81 = 0 之解，

答：大弧矢 6 步，小弧矢 3 步。