六年级上册期末复习重难点及方法指导
本册教材依次教学了长方体和正方体、分数乘法、分数除法、解决问题的策略、分数四则混合运算、百分数等内容。期末复习按“数的世界”“图形王国”“应用广角”等三个部分进行。由于没有统计方面的新授内容，所以把统计的思想方法穿插在上述三个部分，结合着解题适当运用与复习。
本文结合苏教版小学数学教材六年级上册112页~116页内容进行分析。
一、“数的世界”着眼于数的概念系统的建立，以及运算能力的加强
在分数乘法单元，主要教学分数乘法的意义和计算法则；在分数除法单元，主要教学分数除法的计算法则以及有关比的意义与性质的知识；在分数四则混合运算单元，主要教学整数的混合运算顺序和运算律同样适用于分数运算；在百分数单元里主要教学百分数的意义，百分数与分数、比的联系，百分数的实际应用。本单元教材认真分析了上述数学内容的联系，可以看到：百分数意义与分数意义有着本质的联系，百分数与比有实质性关系，分数乘法的意义涵盖百分数乘法的概念，应用分数解决实际问题的思路是比较上位的思想方法。同时，也分析了学生的实际情况，可以估计到：大多数学生较好地掌握了分数乘、除法的计算法则，能正确计算分数乘、除法；百分数的教学刚刚结束，在单元整理与练习时，已经认真梳理了百分数与分数的联系与区别，百分数与比的联系与区别，大多数学生不会很快遗忘。在百分数单元，学生解答了许多有关百分数的实际问题，尤其是教材设计编排的一些题组，帮助他们初步形成解决百分数问题的思路，学会分析数量关系的方法与技巧，数量关系意识与方程观念应该有较大的发展。鉴于对数学内容和学生实际的上述分析，本单元教材在“数的世界”里，先提出几个比较概括的问题，引导学生回忆、整理有关的知识。再编排十七道练习题，引导学生在解题过程中加深对知识的理解，体会知识的具体应用。
“本学期学习了分数的哪些运算？”简单回答是分数乘法和分数除法，细化内容包括运算的方法、运算的意义、运算的应用三方面知识，进一步列举有分数乘法的计算法则、分数乘法的意义、求一个数的几分之几是多少的实际问题；有分数除法的计算法则，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题。教学时应该引导学生由粗到细，逐步回忆并梳理出三方面知识的具体内容。随着这些内容的再现和重新整理，学生的认知结构会发生相应的调整与优化。
“学习了有关比和百分数的哪些知识？”可以分两个层次回忆整理有关的知识。首先分别回忆比的知识和百分数的知识，然后整理比和百分数的联系与区别。关于比的知识，主要有比的意义、比的基本性质、求比值和化简比，其中比的意义是重点，也是主线。两个数的比表示这两个数相除，前项除以后项的商是比的比值；两个数相比相当于这两个数相除，除法有商不变的规律，比有相对应的基本性质；根据商不变的规律可以改写除法算式，应用比的基本性质可以化简比。当学生把这些关系整理清楚以后，他们的认知结构就往纵深发展了一步。关于百分数的知识主要有百分数的意义、百分数与分数或小数的相互改写，百分数的意义是重点。如果把百分数理解为特殊的分数，它的外在表现形式是用％表示其分母为100。所以，百分数能改写成分母是100的分数并约分化简；百分数能通过“分子除以100”，即去掉％并把小数点往左移动两位，改写成小数。反之，分数或小数也能改写成百分数。当学生理解上述关系以后，百分数与分数、小数的改写就以百分数的意义为支撑，改写方法就不会是机械的行为。
“能用这些知识解决哪些实际问题？”可以让学生举例说明。在分数乘法和分数四则混合运算这两个单元，主要解答求一个数的几分之几是多少的问题；在分数除法单元主要解答已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题，以及按比例分配问题；在百分数单元主要解答求一个数是另一个数的百分之几，求一个数的百分之几是多少，已知一个数的百分之几是多少求这个数等三类百分数问题。按比例分配问题通常转化成求一个数的几分之几是多少的问题并获得解法，解答三类百分数实际问题的思想方法完全可以应用于解答分数的问题。所以，回忆有关分数、比和百分数的实际问题，应该整理它们的解题策略和思路，帮助学生积累系统的解题经验，更好地掌握分析数量关系的方法与要领。
教材编排的十七道练习题，能帮助学生具体、深入、细致地理解有关的基础知识，进一步积累解决实际问题的经验。为此，编排的十七道习题不仅要解答一遍，更要挖掘相关的知识、方法与经验，提高学生解决问题的能力。
第1～3题着重练习百分数、比的概念。第1题解释三个现实情境中百分数的含义，大多数学生不会有困难。在理解这些百分数意义的基础上，可以让学生估计一下，2010年农村居民人均纯收入大约是多少元，世界人均水资源占有量大约是多少立方米。只要求估计，不要列算式或方程求解；只要思考得有道理，不求得数准确。这些估计有助于学生对百分数意义的理解，有益于数感的发展。第2题把百分数改写成分数和比，把小数改写成百分数、比和分数。大多数学生能够正确改写。教学时应该让他们联系百分数的意义、小数的意义，说说改写时的想法。如125％可以看作分母是100的分数，看作后项是100的比，写出的分数和比都要化简。又如0.45是两位小数，可以写成分母是100的分数、后项是100的比，也可以直接写成百分数。第3题根据已知的数据，可以组成许多个比。有两个同类数量的比，如两个质量的比、两个时间的比、两个路程的比；有两个不同类数量的比，如路程与时间的比。无论是两个同类数量的比还是两个不同类数量的比，都表示两个数相除。
第4～7题着重练习计算。教材的要求是：比较容易的分数四则计算可以直接说出得数；稍复杂的计算可以笔算出结果；四则混合运算应注意选择算法，或是按运算顺序计算，或是利用运算律、运算性质简便计算。要提倡计算结果正确，方法简便。
第8～17题都是解决实际问题，其中有些题的解答学生比较熟悉，有些题的解法需要思考一下。第8题根据已知的“5/4分钟行了2/5千米”，求平均每分钟行多少千米，行1千米需要多少分钟。列除法算式解答这两个问题的思考有点难，可以引导学生从整数入手，向分数类推。如根据“5分钟行2千米”，求1分钟行多少千米，需要把2千米平均分成5份，即2÷5（路程÷时间=1分钟行的路程）；求行1千米要多少分钟，需要把5分钟平均分成2份，即5÷2（时间÷路程=行1千米要的时间）。这些数量关系应用到分数运算里面，就能列出解决相应问题的算式。第9题是一个题组，其中两小题都已知“五、六月用煤量的比是7:8”。从这个比可以推理出：五月用煤量是两个月用煤量的7/15，六月用煤量是两个月用煤量的8/15，五月用煤量是六月的7/8，六月用煤量是五月的8/7。利用这些分率，第9题的两小题都能转化成求一个数的几分之几是多少的问题。第12题计算个人应缴纳的所得税，涉及“个人月工资收入超过3500元的部分，应缴纳所得税”的规定，这是新授时没有出现的情况。第14题是一个题组，解答两个小题都要用数量关系式“总面积-种果树的面积=种松树的面积”。两个小题有“互逆”关系，第（1）小题解答以后能改编成第（2）小题，第（2）小题解答以后能改编成第（1）小题。
二、“图形王国”着眼于空间观念的发展和应用意识的培养
在“空间与图形”领域，本学期主要教学长方体和正方体，包括它们的形状与结构、表面积与体积的概念、表面积和体积的计算方法与实际应用等具体内容。就大多数学生来说，对长方体、正方体特征的认识会比较清楚，他们能指出相对的面、相对的棱，能识别长、宽、高；掌握了长方体、正方体表面积的概念，但计算表面积的方法可能会有遗忘，尤其是涉及五个面、四个面计算的实际问题，解答时会出现困难；会求长方体、正方体的体积，但体积概念可能还比较淡薄，尤其是求容器的容积，可能障碍较多。为此，教材十分重视空间观念的培养，在帮助学生建立正确概念的基础上，鼓励他们开展空间想象，利用鲜明的概念或表象，通过形象思维，探索解决问题的方法。在“图形王国”里，先提出三个问题，引导学生回忆、整理有关的基础知识，再编排五道习题，在应用知识解决问题的过程中，加强对基础知识的理解和掌握。
“长方体和正方体各有什么特征？”唤醒学生头脑中的有关表象，激活关于长方体、正方体的概念。利用这个问题复习长方体和正方体的知识，首先要分别说出长方体的特征、正方体的特征，然后要梳理长方体与正方体的关系，进一步体会，正方体具有长方体的所有特征，是长、宽、高都相等的特殊长方体。接着还要指出长方体的前、后两个面，并说说这两个面的面积怎样计算；指出长方体的左、右两个面，并说说这两个面的面积怎样计算；指出长方体的上、下两个面，说说这两个面的面积怎样计算。在长方体的长、宽、高与各个面的长、宽之间建立对应联系，有助于空间观念的发展。
“怎样计算表面积和体积？”不只是回忆计算公式，还要回忆三点内容：一是表面积的意义和体积的意义，联系具体物体再次体验“物体表面各个面的面积总和是物体的表面积”“物体所占空间的大小是物体的体积”。如果说学生初学长方体、正方体的表面积和体积时，对概念的体会尚不够清晰，那么现在的再认将是比较深刻、比较牢固的。二是计量表面积或体积的常用单位，包括各个面积单位和各个体积单位，相邻体积单位间的进率，以及长度、面积、体积单位之间的对应联系。三是推导长方体、正方体体积公式的过程，进一步体验用体积单位测量长方体体积的方法，理解“长×宽×高”的含义。
“举例说说运用这些知识能解决哪些实际问题”，回忆曾经解答过的有关长方体、正方体表面积和体积的习题，感受在身边有许多求长方体、正方体表面积或体积的问题。体会解决实际问题要正确判断是求物体的表面积还是体积，以把实际问题抽象成相应的数学问题。对于求表面积的问题，要正确判断所求的问题涉及长方体或正方体的几个面，是哪几个面？各个面的面积怎样计算？这些内容既是基础知识，也涉及良好的思考习惯，值得重视和培养。
第18、19题练习体积、容积的概念，在理解概念的基础上加深对相关单位的理解。如为一本数学书的体积240（ ）选择适当的单位，应该想到数学书的体积不是很大，用立方米、立方分米来计量结果不可能是整数，于是选择立方厘米来表示数学书的体积。在这样的思考过程里，有空间想象的成分，既有利于加强关于体积单位知识的学习，又能发展空间观念。又如3.05立方米=（ ）立方分米，仅仅思考“较大单位的数量改写成较小单位的数量，把较大单位的数量乘进率”是不够的，可以想一想“3.05立方米”有多大，在头脑中产生3.05立方米的表象，体会它有多少个1立方分米那么大。像这样思考，虽然解题时间会多一些，但效果会好很多。
第20、21题根据有关物体的长度数据或正方体表面展开图，想象相应的物体。从已知的长8厘米、宽6厘米、高4厘米，想到这是一个长方体，它的上、下两个面比其他面大些；从已知的长6厘米、宽4厘米、高4厘米，想到这是一个长方体，它的上、下两个面是正方形，四个侧面是完全相同的长方形；从已知的长5厘米、宽5厘米、高5厘米，想到这是一个正方体。在正方体的表面展开图上识别三组相对的面，是根据给出的平面图形想象能围成的立体图形，空间观念在此过程中能得到实实在在的培养。
第22题是综合性较强的题，涉及长方体的表面积知识和体积知识。做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求需要多少玻璃，就是求长方体除了上面以外另五个面的面积和。至于已知长方体的长、宽、高，求体积，或者已知长方体长、宽和体积，求高，都可以应用“长×宽×高=体积”列出算式或方程解答。
三、“应用广角”着眼于培养学生的实践能力
教材在“应用广角”里编排的三道习题，为学生设计了三个小型实践活动，让他们在实践中应用数学知识，解决实际问题。
第23题以调查与计算为主要活动。通过调查，了解校园的面积和其中的绿化面积，算出校园的绿化覆盖率；了解自己班内的男、女生人数，计算女生占全班人数的百分比、男生占全班人数的百分比、男生人数是女生人数的百分之几、女生人数是男生人数的百分之几。上述的调查和计算并不难，学生有能力独立完成，并从中体会百分数的广泛应用。
第24题集制作、测量、计算为一体。在一张长方形纸的四角各剪去一个小正方形，折成一个长方体纸盒，计算这个纸盒的容积。用一张纸做出一个盒子，学生感受了从平面到立体的变化。计算盒子容积所需要的长度，既可以量出来，也可以算出来，两种方法可以相互支持，是数与形的结合。
第25题应用本册教材第四单元教学的“假设”策略解决稍复杂的实际问题。提出怎样的假设比较好？假设以后，小正方体个数会发生怎样的变化？这些是必须认真思考的问题，能促进学生思维水平的提升。
我们的杂志——《小学数学教育》下半月刊
欢迎一线教师和数学教育工作者拨冗赐稿