趣谈数字五

天气越来越热了，而且临近期末，本文没有什么“硬核”内容，权当让大家放松了。

一、文化中无所不在的五

刚刚过去端午节又为大家带来一个小小的假期，希望大家都已经休息好并且开始了新的战斗。每年的端午，人们总要考据一番这个节日和屈原、粽子有关的话题，笔者没有那个能力，只是联想到几个和五有关的问题。

在中国传统文化中，五是很重要的，比如说五行、五色、五脏、五方、五岳、五金、五爪金龙等等。有时即使和五没有关系的东西，也要硬拉上“五”，比如中国本来是一年四季的，但是有时硬加入一个“长夏”凑成五季，还有春秋期间称霸的君主何止五位？可“五霸”只能限定五位，于是有了好几个版本的“五霸”说法。在古代军队中，五名士兵就是一个最小的组织，称为“伍”。我估计，五这么重要，是因为人的每只手有五个指头，这直接的后果就是，人能一眼看出的数目就是五个左右。这后者可是有心理学实验作依据的。今天我们国家的标志也是五星红旗，而民国时曾经用过的一种国旗则是五色旗。

也不只在中国五很重要，在西方同样如此，比如罗马数字就可以看作是一种“五进制”的计数系统。再比如奥运会标志是五环，据说象征着“五大洲”，如果说南极洲因为没有常住人口而不计算在内有情可原的话，大洋洲（澳大利亚及周边岛国）为什么也不算呢？

另外，天文上肉眼能看到的行星也是恰好五颗，它们神秘的“天空之舞”自古就吸引着人类，最终由开普勒、牛顿等人揭开了秘密。

不过，下面让我们还是把话题集中在数学上吧。

二、和五有关的算术

2 和 5 的倍数还是最容易判断的，只要一个整数的末尾是 0,2,4,6,8 就一定能被 2 整除，末尾是 0,5 就一定能被 5 整除。利用这一点，我们用电脑判断一大堆连续数字中谁是质数的时候，就可以直接滤掉其中的 60%——只要考虑末尾是 1,3,7,9 的数就可以。

不但如此，在十进制中，只有两个质数作除数时永远不会产生循环小数，即 2 和 5。这是因为这两者都是 10 的约数。如果除数中混进了其它质数，那么决不可能把分母化成 的形式，因此往往会出现循环小数。

一位数里，只有 0（一般不说 0 是一位数，这里姑且也包括进来）,1,5,6 四个自乘后末尾不变，二位数里只有 25 和 76 两个数自乘后末尾不变，三位数里只有 625、376 自乘后末尾不变……这些数叫做自守数。在速算法里，末尾为 5 的数平方是最好算的：以 35 为例，十位数为 3，乘以(3+1)为 12，后面添上 25 即是 35 的平方——1225。

在机械制图里，常用的比例尺是 1:2、1:5、1:10……或者 2:1.、5:1、10:1……这当然是因为乘以 5 和除以 5 都容易计算的缘故——事实上只要除以 2 或者乘以 2，再适当移动小数点就可以了。

三、没有求根公式的多项式方程

五次及以上的多项式方程没有一般的求根公式，这是一个惊人的结论，以我的智商到现在还没有学会。但是我相信大家都听说过，也都读过有关伽罗瓦、阿贝尔的传记，这里我就不照抄那些了。我要说的是和这有关的另外的话。

首先，所谓没有求根公式，是指普遍的情况下不能通过方程系数有限次的四则运算及开方得到根。这并不意味着方程的根不能精确求出来。我手头就有两篇文章介绍了五次方程根的求法（分别见于https://zhuanlan.zhihu.com/p/32404214和https://zhuanlan.zhihu.com/p/32509769），能看懂的给我们科普一下吧。当然，对于某些简单的五次方程，是不用那么麻烦的。

其次是对一些数学工作者说的。如果有人硬拉着你说自己研究出了五次方程的求根公式，你千万不要试图用道理说服他。你可以给他一个五次方程，让他用自己的公式算一下，然后再和你自己编程得到的近似根比较，把结果甩给对方就可以了。如果还不行，那你赶快找个借口溜了吧。以前某网站上就有人认为自己算出来的“根”才是根，即使带入方程后不成立也是根！（不是因为误差导致不成立，而是根本就不成立）

已知的15种凸五边形镶嵌(图自维基)

关于五，还有什么可说的吗？当然还可以继续说一些，比如五边形密铺等等，不过这方面的文章很多了，而且已经是几何问题了。下次我们直接跳过这个话题，聊聊正五边形吧。